高阶非线性Schrödinger方程的精确行波解

高正晖

（衡阳师范学院数学与统计学院，湖南 衡阳 421002）

本文将研究一类高阶非线性Schrödinger方程：

其中 α，β1，β2，β3分别是方程的实系数，i2＝－1，u 是关于 x，t的复值函数，是u的复共轭.非线性Schrödinger方程是数学物理中的一类重要的非线性演化方程，它在量子力学、非线性光学、电磁学、等离子体理论、固体物理学以及玻色-爱因斯坦凝聚等众多领域有着广泛的应用.从传统的观点来看，求非线性偏微分方程的精确解是十分困难的，然而，近几十年来，对某些非线性偏微分方程的精确求解获得了许多有效的方法，如直接积分法，混合指数法，齐次平衡法，双曲函数展开法及Baclund变换法等[1].Peng Yan-ze等[2]用修正的映射方法和推广的映射方法，得到了方程（1）的一些精确行波解，但这些方法不能揭示其行波解如何依赖于方程中的参数变化，其行波解具有什么样的动力学性质也不清楚.近几年来，郭柏灵，刘正荣[3]、李继彬[4-8]、刘正荣[9]等运用动力系统的分支理论对一些非线性发展方程的精确行波解进行了研究，建立了求非线性发展方程精确行波解的新方法.本文将应用动力系统的分支理论，对方程（1）的行波解的平面相图做细致的分析，根据这些分析，给出方程（1）的精确行波解的参数表示.

1 方程（1）的行波变换

考虑方程（1）如下形式的行波解

其中φ（ξ）表示振幅，k为波数，ω为圆频率，c为行波的波速.

将式（2）代入方程（1），则有

由方程（3）可得

对方程（4）积分一次并取积分常数为0，可得

比较方程（5）、（6），可得

由（7）解得

令φ′＝y，则可得以下平面自治系统

2 系统（9）的平面相图

显然，系统（9）是一个Hamilton系统，它有首次积分

因此，系统（9）的Hamilton函数为

对于系统（9），其平衡点满足方程组

因此，当AB＞0时，系统（9）有平衡点O（0，0）及平衡点，0）.记M（φi，yj）为系统（9）的线性系统在平衡点（φi，yj）的系数矩阵，其Jacobi行列式因此，该系统在平衡点O（0，0）的Jacobi行列式为在平衡点的Jacobi行列式为根据平面动力系统理论，对于平面可积系统（9）的平衡点，若J＞0，则它是中心；若J＜0，则它是鞍点；若J＝0并且在平衡点的Poicare指标为0，则它是尖点，否则，该平衡点是高次平衡点.

记 h0＝H（0，0）＝0，

情形1：当AB＜0时，系统（9）有唯一的平衡点O（0，0）.

1）当 β1A＞0 时，因此，平衡点 O（0，0）是鞍点.

2）当 β1A＜0 时，因此，平衡点 O（0，0）是中心.

图1 β1A＞0的平面相图

图2 β1A＜0的平面相图

情形2：当AB＞0时，系统（9）有平衡点O（0，0）及平衡点

3）当 β1A＞0 时，因此，平衡点O（0，0）是鞍点，平衡点是中心.

4）当 β1A＜0 时，因此，平衡点是 O（0，0）中心，平衡点是鞍点.

图3 β1A＞0的平面相图

图4 β1A＜0的平面相图

3 方程（1）的精确行波解的参数表示

根据上述系统（9）的平面相图，可得

情形 1：当 AB＜0时，系统（9）有唯一的平衡点 O（0，0）.

1）当 β1A＞0 时，因此，平衡点 O（0，0）是鞍点.

取 h＝h0＝0，由代入系统（9）的第一个方程得

此为第四种椭圆方程，因此有解

因此，方程（1）有精确行波解

2）当 β1A＜0 时，因此，平衡点 O（0，0）是中心.

取h∈（－∞，0），对应于由H（φ，y）＝h所定义的曲线是系统（9）的周期轨，因此，系统（9）有周期解.由可得

此为第一种椭圆方程，因此有精确周期波解

因此，方程（1）有精确行波解

情形2：当AB＞0时，系统（9）有平衡点O（0，0）及平衡点

3）当 β1A＞0 时，因此，平衡点O（0，0）是鞍点，平衡点是中心，且系统（9）有过鞍点的同宿轨Γ1，其内部包含中心.

取 h＝h0＝0，由可得代入系统（9）的第一个方程得

此为第四种椭圆方程，因此有解

因此，方程（1）有精确行波解

4）当 β1A＜0 时，因此，平衡点O（0，0）是中心，平衡点是鞍点，且系统（9）有过鞍点的异宿轨Γ2.

取由可得代入系统（9）的第一个方程得

因此有解

所以，方程（1）有精确孤波解

4 结语

本文应用平面动力系统分支理论的方法，对一类高阶非线性Schrödinger方程进行了研究，在参数平面上给出了该方程的精确行波解的分支相图，从而揭示了其行波解与参数的依赖关系，并获得了该方程的精确行波解的参数表示.