等差数列解题十招式理论与实践

2018-08-27薛超群

文理导航 2018年11期

关键词：等差数列

薛超群

【摘要】在等差数列教学中，教师对教材进行归纳总结，形成等差数列解题招式，能让学生在学习中应用招式解决等差数列问题，增强学生学习信心，激起学习兴趣，快速提高学习成绩。

【关键词】等差数列；解题招式；等差数列题型

在高中数学等差数列教学中，笔者在教学实践中，对教材进行归纳总结，形成等差数列解题十招式，简介如下：

招式一：“借力打力”：

在等差数列{a■}中，a■=a■+（n-m）d，表示a■是站在a■肩膀上，借用a■之力。

招式二：“老鼠拖蛋”：

在等差数列{a■}中，d=■，公式右边分子，形如2只老鼠在楼上拖着鸡蛋，鸡蛋打碎后，字母n、m从楼上跌下。

招式三：“恩人带路”：

在等差数列{a■}中，前n项和S■=na■+■d，公式右边字母n（音恩人）在前面带路，字母d（音弟弟）跟着走。

招式四：“下标和”：

在等差数列{a■}中，若n+m=p+q，则a■+a■=a■+a■，即下标和相等推出两项和相等。

招式五：“等距抓壮丁”：

在等差数列{a■}中，等距离抽取出的项组成等差数列，如a■，a■，a■，…是等差数列。

招式六：“切豆腐，糅合”：

在等差数列{a■}中，前n项和S■，可得S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差数列。

招式七：“等差数列四等价之一”：

数列{a■}为等差数列，等价于a■-a■=d，其中n≥2，d为常数。

招式八：“等差数列四等价之二”：

数列{a■}为等差数列，等价于a■=■，其中n≥2。

招式九：“等差数列四等价之三”：

数列{a■}为等差数列，等价于a■=pn+q，其中p，q为常数。

招式十：“等差数列四等价之四”：

数列{a■}为等差数列，等价于S■=an■+bn，其中a，b为常数。

学生用以上十个招式套路，可以提高解题速度，快速提高学习成绩。

例1.在等差数列{a■}中，已知a■=5，d=2，求a■。

分析：在等差数列{a■}中，要求a■，用招式一“借力打力”，a■=a■+（n-m）d，a■=a■+6d=5+12=17。

例2.在等差数列{a■}中，已知a■=5，a■=17，求d。

分析：在等差数列{a■}中，要求d，用招式二“老鼠拖蛋”，即在等差数列{a■}中，d=■，d=■=2。

例3.在等差数列{a■}中，已知a■=5，a■=17，求S■。

分析：在等差数列{a■}中，要求S■，由前n项和公式S■=■n，S■=■×11，用招式四“下标和”，即若n+m=p+q，则a■+a■=a■+a■，S■=■×11=■×11=121。

例4.在等差数列{a■}中，已知a■，a■是方程x■+12x-8=0的两根，求a■。

分析：在等差数列{a■}中，已知a■，a■是方程x■+12x-8=0的两根，由韦达定理，得a■+a■=-12，要求a■，用招式五“等距抓壮丁”，即在等差数列{a■}中，等距离抽取出的项组成等差数列，得a■，a■，a■是等差数列；用招式八“等差数列四等价之二，数列{a■}为等差数列，等价于a■=■，其中n≥2”，得a■=■=-6。

例5.等差数列{a■}前n项和为S■，a■>0，已知a■，a■是方程x■-3x-28=0的两根，求S■的最大值。

分析：等差數列{a■}前n项和为S■，a■>0，已知a■，a■是方程x■-3x-28=0的两根，由（x+4）（x-7）=0，得两根分别为-4和7。

当a■=-4，a■=7时，用招式二“老鼠拖蛋”，即在等差数列{a■}中，d=■，d=■=■，由a■=a■-3d=-15，与已知a■>0矛盾，舍去；

当a■=7，a■=-4时，用招式二“老鼠拖蛋”，即在等差数列{a■}中，d=■，d=■=-■，由a■=a■-3d=18，符合题意。

用招式三“恩人带路”，即在等差数列{a■}中，前n项和S■=na■+■d，得S■=n×18+■·（-■）=-■n■+■n，当n=5■，取n=5时，S■有最大值，为■。

例6.在等差数列{a■}中，前n项和S■，已知S■=4，S■=16，求S■。

分析：在等差数列{a■}中，要求S■，用招式六“切豆腐，糅合”，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差数列，可得S■，S■-S■，S■-S■，…，即4，12，S■-16，…为等差数列；

用招式八“等差数列四等价之二，数列{a■}为等差数列，等价于a■=■，其中n≥2”，可得S■=36。

例7.证明数列{a■}为等差数列，等价于a■=pn+q，其中p，q为常数。

分析：若数列{a■}为等差数列，则a■=a■+（n-1）d=dn+（a■-d），设p=d，q=a■-d，即得a■=pn+q。

若a■=pn+q，其中p，q为常数，则a■-a■=pn+q-（pn-p+q）=p，得知数列{a■}为等差数列。

例8.在数列{a■}中，前n项和S■，已知S■=n■+2n，判断数列{a■}是什么数列，求a■。