三角形四“心”的向量风采

李冬明

【摘 要】三角形的四“心”即重心、垂心、内心、外心，在三角形中有着极其重要的地位，在各地高考题及模拟考试中，出现许多有关三角形四“心”的向量形式的优美考题，使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识。特在此分类解析，旨在探索题型规律，以提升同学们的数学思维能力。

【关键词】三角形；向量；重心；垂心；内心；外心

一、“重心”的向量风采

例1.已知M是△ABC所在平面上的一點，若■+■+■=■，则M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

解析：由题意，得■+■=-■，以MA、MB为邻边作平行四边形MAC'B，设MC'与AB相交于点D，则D为AB的中点。由■+■=■，得■=-■，即C，M，D，C'四点共线，故M为AB边中线上的点。同理可得M也为AC，BC边的中线上的点，所以M是△ABC的重心。故选（A）。

变式1：已知M是△ABC所在平面上的一点，若■=■（■+■+■），则M是△ABC的重心。

变式2：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点M满足■=■+λ（■+■），λ∈（0，+∞），则点M的轨迹一定通过△ABC的重心。

二、“垂心”的向量风采

例2.已知M是△ABC所在平面上的一点，若■·■=■·■=■·■，则M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

解析：由■·■=■·■，得■·（■-■）=0，即■·■=0，所以■⊥■。同理可证■⊥■，■⊥■。所以M是△ABC的垂心。故选（B）。

变式：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点M满足■=■+λ（■+■），

λ∈（0，+∞），则点M的轨迹一定通过△ABC的垂心。

解析：由题意得■=λ（■+■），（■+■）·■=0，所以■⊥■，即点M在过点A且垂直于BC的直线上，所以点M的轨迹一定通过△ABC的垂心。

三、“内心”的向量风采

例3. 已知M是△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a。若a■+b■+c■=■，则M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

解析：因为■=■+■，■=■+■，由题意得（a+b+c）■+b■+c■=■，所以■=■（■+■）。因为■与■分别为■，■方向上的单位向量，所以■与∠BAC的角平分线共线，即AM平分∠BAC，同理可证BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，所以M是△ABC的内心。故选（C）。

变式：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点M满足■=■+λ（■+■），λ∈（0，+∞），则点M的轨迹一定通过△ABC的内心。

四、“外心”的向量风采

例4.已知M是△ABC所在平面上的一点，若■■=■■=■■，则M是△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

解析：若■■=■■=■■，则■■=■■=■■，即■■=■=■，所以M是△ABC的外心.故选（D）。

变式：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点M满足■=■+λ（■+■），λ∈（0，+∞），则点M的轨迹一定通过△ABC的外心。

解析：由于■过BC的中点，当λ∈（0，+∞）时，λ（■+■）表示垂直于■的向量，所以点M在BC的垂直平分线上，故点M的轨迹一定通过△ABC的外心。