关于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想的新思路以及因数分解的一个多项式算法

2018-08-27谢翰

文理导航 2018年11期

谢翰

【摘要】证明哥德巴赫猜想的思路有四种，这四种思路分别是：例外集合，小变量的三素数定理，几乎哥德巴赫问题，殆素数。本文提出了不同以往的第五种思路，创建出了α数集和β数集，成功地将哥德巴赫猜想拆解成为两个更基本的猜想。此外，给出了孪生素数猜想的一个证明途径以及因数分解的一个多项式算法。

【关键词】孪生素数猜想；哥德巴赫猜想；第五种思路；α数β数；因数分解多项式算法

史上和素数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：

（一）每一个不小于6的偶数，都是两个奇素数之和；

（二）每一个不小于9的奇数，都是三个奇素数之和。

这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需在两个猜想中证明第一个猜想就足够了。证明哥德巴赫猜想的思路有四种，这四种思路分别是：例外集合，小变量的三素数定理，几乎哥德巴赫问题，殆素数。

这四种思路中只有殆素数的思路取得了比较重大的突破。

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，数学家把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇素数，另一个则是两个奇素数的积。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。据此，本文作者从基本问题出发，为学界提供了不同以往的第五种思路。

奇素数可分为两大类：模4余3（即余-1）的素数称为α素数，模4余1的素数称为β素数。

α素数与1的和除以4得出来的数就是α数{1，2，3，5，6，8，11，12，15，17，18，20，21，26，27，32，33，35，38，…}，β素数与1的差除以4得出来的数就是β数：{1，3，4，

7，9，10，13，15，18，22，24，25，27，28，34，37，39，…}。

α素数可表示为4α-1，β素数可表示为4β+1。

一、证明了以下猜想（猜想一和猜想二）可以推出（从而强于）哥德巴赫猜想：

我们还需要建立“和集”的概念：设A，B是正整数集的非空子集，则它们的和集A+B={a+b：a∈A，b∈B}。

两个α素数的和集：（4α■-1）+（4α■-1）=4（α■+α■）-2；

α素数与β素数的和集：（4α■-1）+（4β■+1）=4（α■+β■）。

当α■+α■={2，3，4，…}且α■+β■={2，3，4，…}时，4（α■+α■）-2和4（α■+β■）就构成不小于6的全体偶数的集合{6，8，10，12，…}。哥德巴赫猜想于是就归结为以下两个猜想（猜想一、猜想二）：

α数与α数的和集等于{2，3，4，…}。

α数与β数的和集等于{2，3，4，…}。

证明过程（以下n∈N+）：

α数与α数的和集等于{2，3，4，…，n+1，…} α素数与α素数的和集等于{6，10，14，…，4（n+1）-2，…}——①

α数与β数的和集等于{2，3，4，…，n+1，…} α素数与β素数的和集等于{8，12，16，…，4（n+1），…}——②

①、②每一个不小于6的偶数，都是两个奇素数之和。

二、只要证明猜想三（或猜想四）：α数集与β数集的交集是一无穷数集（或α数集与β数集加1的交集是一无穷数集，也就证明了孪生素数有无穷对。这是因为当α=β时α素数4α-1与β素数4β+1两者是孪生素数，当α=β+1时α素数4α-1=4（β+1）-1=4β+3与β素数4β+1两者也是孪生素数。

三、对α数集的研究发现α数集缺少形如1+3n（n∈N■）的数，用2■+5n、3■+7n、4■+9n…试验也符合，于是得到α数的重要性质（猜想五）：α数集是{x：x=a■+（2a+1）n，a、n∈N■}在正整數集中的补集。对β数集的研究发现β数集缺少2、形如k+（4k+1）n（k、n∈N■）的数、形如3k-1+（4k-1）n（k、n∈N■）的数，于是得到β数的重要性质（猜想六）：β数集是三个数集{2}、{x：x=k+（4k+1）n，k、n∈N■}、{x：x=3k-1+（4k-1）n，k、n∈N■}的并集在正整数集中的补集。

四、因数分解是数论中的一个基本问题，从其诞生到现在已有数百年历史，然而真正引起数学家、计算机科学家及密码学家的极大关注却是近几年的事，最直接的原因是因为一些新的密码体系及签名格式的安全性被认为是基于大整数因数分解的难解性，因而大整数因数分解的任何一点进展，都将引起密码学家的关注；另外，大整数因数分解属于NP类，它是否存在多项式时间的算法是数学家及计算机科学家所极为关心的。

合数中的偶合数约去2n后化为奇数，所以因数分解问题归结为奇数的分解问题。经过多番艰苦尝试，我发展出一套独树一帜的分解方法，M<100000000时分解成功率高达100%，而时间上限仅为3216·（lnM）■，（时间≤2·log■M·log■M）。以下是我的多项式算法（双覆盖法）：

（1）输入被分解数M（设M是一个大于1的奇数）。

（2）执行：a=M。

（3）执行赋值：a=[a·0.99■·0.94■]+1-mod（[a·0.99■·0.94■]，2）.x、y∈N，x+y=1。

（4）执行：求a与M的最大公因子r。

（5）条件：r>1或a穷尽了① ？否，返回（3）；是，进入（6）。

（6）条件：r>1？是，则（7）；否，则（8）。

（7）输出：被分解数M有真因子r及M/r。

（8）执行：b=M+[M■]+mod（[M■]，2）M<[M■]*（[M■]+1）时；或b=M-{[M■]+mod（[M■]，2）}M>[M■]*（[M■]+1）时。

（9）执行：求b与M的最大公因子r。

（10）执行赋值：b=[b·0.99■·0.94■]+1-mod（[b·0.99■·0.94■]，2）.x、y∈N，x+y=1。

（11）条件：r>1或b穷尽了①？否，返回（9）；是，进入（12）。