一类“准等比”数列和不等式的放缩证明

我们知道，首项公比为的等比数列的通项为，前项和。本文把数列（其中均为常数）称为“准等比”数列，对于这类数列，我们可以将其放缩为等比数列，再求其和的上（下）限，或证明与其和有关的不等式。

例1，求证：

证明：我们可以这样用放缩法证明：

因为，所以，

证毕。

证法很简洁清晰，由，

得到。可是，这样放缩是怎样想到的呢？难到可以事先知道这个结果再进行配凑的？确實如此，这个放大的结果确实是可以先通过分析推理得出来的！请看下面的分析：

思路一：因为左边和式无法直接求和，但结构形式与等比数列相似，考虑将左边和式的各项分别放大为某个等比数列的对应项，这样就能求和了，显然这个等比数列的公比应为，也就是猜想，

即猜想，化简得当时，取最大值3，所以取，即，猜想成立！再按此猜想得到的放大目标写出放大过程：，最后再完成证明：

，证毕。

思路二：还是将放大为某个等比数列的前n项和，其中，即假设，令，得，所以，经验证成立，与之前的放缩结果一致。

我们不妨再用这种方法验证下面问题：已知数列求证：（2006福建理22（3））：

证明：∵

又，令，则，当时，取最大值，所以取，即，明确了放缩的目标，后续的证明自然就水到渠成了：

作者简介：邱东华（1967.6—），男，汉，籍贯：福建省清流县，大学学历，职称：中学高级，研究方向：解题研究，单位：福建省清流县第一中学。