一元线性回归分析和有效应用

文 李会芳

一、一元线性回归分析基本原理

一元线性回归的数学模型为y=β0+β1x+ε。其中，变量x对因变量y的影响可以用（β0+β1x）表示出来，β0和β1是待定参数，ε则表示其他不确定因素对y造成的影响，通常来说ε是无法确定的，一般将ε假设为方差为σ2，期望是0的正态分布。

回归分析在实际中的应用其实就是一个求解未知数的过程。它通过给出的一系列样本数值对待定参数β0和β1进行精确估计，并将估计值用β0'和β1'来表示。在计算时采用最小二乘法对估计值进行计算：

计算所给出样本值的平均值，再将相关数据带入上述公式，就可以利用最小二乘法计算出β0'和β1'的值，最后将得出的数值带入一元线性回归的数学模型即可。

二、一元线性回归分析的有效应用

（一）一元线性回归分析在经济中的应用

利用一元线性回归分析可以对生活中的一些经济关系进行分析，它是经济预测中常用的方法之一。本文以财政收入和GDP之间的线性关系分析为例来对一元线性回归分析在实际中的应用情况进行探讨。下面是某十年国家财政收入占国内生产总值的比重图：

财政收入所占的比重第一年 34634.4 4348.97 12.5第二年 46759.2 5218.12 11.1第三年 58478.3 6242.30 10.8年数 国内生产总值（亿元）财政收入（亿元）第四年 67884.5 7407.98 10.8第五年 74462.5 8651.20 11.7第六年 78345.6 9875.96 12.7第七年 82067.3 11444.10 13.8第八年 89468.5 13395.26 14.9第九年 97314.6 16386.06 16.7第十年 104790.5 18903.66 18.1

财政收入和国内经济生产总值之间有直接的关系。下面以财政收入为自变量x，国内生产总值为因变量y，建立一元线性回归模型来对两者之间的关系进行具体的分析。

假设财政收入x和国内生产总值y的方程为：y=β0+β1x1，将上表中的数据输入电脑中，利用SSPS软件进行线性回归分析得出下表。

参数 标准差 估计值 拟合度 t财政收入 5690.412 5.110 0.944 3.339常数项 0.552 19044.809 9.250

由上表可以得出β1'=5.110，β0'=19044.809，拟合度为0.944，所以财政收入和国内生产总值的线性方程可以写为：

从拟合度就可知线性显著，所以上述方程成立。可以看出，财政收入和GDP之间成正比，这说明GDP能够迅速增长和财政收入的增加有很大的关系。

（二）一元线性回归分析在工程预测进度中的应用

将一元线性回归分析应用于进度控制当中，可以有效地对工程进度进行预测，从而实现有效的事前控制。

用xi来表示打桩工程的i天，用yi来表示到第i天工程的完成量。设线性方程为y=β0+β1x1。用最小二乘法计算得β1'=17.88，β0'=0.93，所以天数和完成量之间的关系为：

通过上式，我们就可以预测出10天以后第i天在置信水平下对应的完成总量的值和能完成工程量的可能性，从而合理安排每日的工程量。

综上所述，一元线性回归方程在实际生活中有着很广泛的应用，除了上面的两个应用，它还可以有效应用于预测保险费收入、业务开支、舵机故障诊断等各个方面，有着很大的实际意义。