管中窥豹

汪世利

摘 要 通过对2018年4月浙江省学业水平考试18题多种解法的探究，揭示其几何本质：圆锥模型，并借助圆锥模型解决动态几何问题。并由此总结：在平时课堂教学中应注重培养学生“直观想象”能力和数学建模的能力，发展学生的数学核心素养。

关键词 动态立体几何;圆锥模型;直观想象

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）06-0047-02

立体几何是高中数学的重要内容之一，对培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力、综合应用能力方面有着重要性。而立体几何中的“动态”问题渗透着运动变化的观点，是立体几何的一大难点。所谓“动态”性立体几何题，是指在点、线、面运动变化的几何图形中，探寻点、线、面的位置关系或进行有关角与距离的计算。是学考、高考的难点，也是学考、高考的亮点。

一、似曾相识燕归来，小园香径满芬芳

例1：如图1，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC。若AB=1，BC=，AF=FE=EC=1，則下列二面角的平面角大小为定值的是（ ）（2018年4月浙江省学考试卷第18题）

A.F-AB-C B.B-EF-D C.A-BF-C D.B-AF-D

作为一道选择题，按照小题小做的思想，排除法是一种非常有效的解题方法，只有一个二面角的平面角为定值，其他二面角都在变化的，可以取两种特殊的情况计算，排除其他三个答案。但对于课堂教学来讲，我们不应只满足于找出问题的答案，而应从多角度分析，寻求问题的几何本质。上述问题转化为证明二面角B-EF-D的平面角为定值。

思路1：（坐标向量法）如图2：建立空间坐标系，设二面角F-AC-B的大小为θ，则 ， ， ， 。可求得平面BEF的一个法向量为 ，平面DEF的一个法向量为 ， ， ，即二面角B-EF-D为直二面角。

思路2：（几何法）如图3：过F作FG⊥AC于G，过E作EH⊥AC于H，过B作BB平行且等于AC，连接BG、DG、DH、ED、BB。易证得AC⊥平面BFG、平面DEH，EF∥AC，得EF⊥平面BFG、平面DEH，可得EF⊥BF，ED⊥EF，∠DEB为二面角B-EF-D的平面角，设∠EHB=α EB2=EH2+HB2-2EH·HBcosα=3/2（1-cosα），

上述三个思路是立体几何问题的常规解法，但不论是利用坐标法、几何法还是向量法，尽管能求出结果，但解题过程都比较复杂。也总感觉还有什么东西没有揭示出来，总觉得意犹未尽。

例2：如图5，在 中， ， .若平面 外一点 和线段 上的点 ，满足 ， ，则四面体 的体积的最大值是。（2016年浙江省高考理科第14题）

从“运动”的视角仔细分析条件，发现点P、D在动，但运动过程中，“ ”，“ ”这两个等量关系始终保持不变，且三条线段有公共点B，那么可以看成三以B为顶点的圆锥的三条母线，因此可以构造如图6所示的圆锥模型，点P在圆锥的地面圆周上运动。要使四面体 的体积最大，即三棱锥 的体积最大，当底面 面积和点 到平面 的距离最大时，体积最大。当平面 平面 时，点 到平面 的距离最大值为1，此时 为圆锥底面圆的直径，则 ，在 中，设 ，因为 ，则 ， ， ， 为等腰三角形， ，即 为 的中点，当 时， 面积的最大值为 ， = 。

二、千磨万击还坚劲，任尔东南西北风

1.培养学生的“直观想象能力”，发展学生的核心素养。核心素养是学生最必要的基本素养，是数学知识、方法的本质体现，在平时立体几何的课堂教学中，应从注重学生学习过程，还课堂给学生，要留足时间给学生深入观察、分析、解决与探究几何图形，对几何图形会想、会画、会准确描述，培养学生的直观想象能力。

2.借助数学模型，培养学生的综合应用能力。一般来说，“动态”立体几何问题中的翻折问题都可以借助“圆锥模型”将动态变化过程转化到圆周变化，化动为静，以静制动，找到解决方案。因此，在平时立体几何的课堂教学中，可以有意识的培养学生借助模型：如长方体、正方体、圆锥等解决问题能力。

参考文献：

[1]马茂年，吴晓明.动态几何策略引领理性探索——例说立体集合“动态”题型解题策略[J].中学教研（数学），2014（2）.