数形结合思想在高中数学中的应用

汪鹏

【摘要】数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，或者在求复数和三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅可以直观地找到解题途径，而且可以避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，教师要注意培养学生的这种思想意识，学生应争取做到“心中有图”“见数想图”，以开拓自己的思维视野.下面举例说明，以达抛砖引玉之意.

【关键词】数形结合；高中数学

一、从数到形，利用形的直观，削弱复杂的推理

例1 求sin210°+cos240°+sin210°cos240°的值.

解析1 原式可变形为sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°，它的结构与形状和三角形中的余弦定理相似，借助几何图形，可作△ABC，由余弦定理和正弦定理得：sin因为A=10°，B=50°，C=120°，

所以sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°=sin120°=34.

这种解法避开了繁杂的三角化简运算，只用到正弦、余弦定理，方便直观.

解析2 原式可变形为cos280°+cos240°-2cos80°cos40°cos120°，如图2所示，构造直径为1的⊙O，以A为顶点在直径AC一侧作∠BAC=40°，∠DAC=80°，由Rt△ABC与Rt△ADC知，AB=cos40°，AD=cos80°，由正弦定理DB=sin120°，所以cos280°+cos240°-2cos80°cos40°cos120°=sin2120°=34.

例2 已知圆C：（x+2）2+y2=1，p（x，y）为圆C上任意一点.

（1）求y-2x-1的最大、最小值；

（2）求x-2y的最大、最小值.

分析 （1）由y-2x-1容易聯想到它的几何意义是点（x，y）与（1，2）所确定直线的斜率.

（2）由x-2y可联想到“目标函数”，可视为动直线的截距问题.

解 （1）如图3所示，设Q（1，2），由p（x，y）得y-2x-1=k的最大、最小值分别为过Q点的圆C的两条切线的斜率，将上述整理得kx-y+2-k=0，由C（-2，0）到直线kx-y+2-k=0得距离为1，得d=|-2k+2-k|1+k2=1，∴k=3±34，∴y-2x-1的最大值为3+34，最小值为3-34.

（2）令x-2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与⊙C有公共点时，u的范围可求，最大值必在直线与⊙C相切时取得d=|1-2-u|5=1，∴u=-2±5，∴x-2y的最大值为-2+5，最小值为-2-5.

二、从形到数，以形助数，借助数的精确性来阐述形的某些属性

例3 如图4所示，四面体V-ABC中，VA，VB，VC两两互相垂直，求证：S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VCA.

解析 四面体是最简单的多面体，三角形是最简单的多边形，由它们之间的这种相似性出发，由立体图形类比到平面图形，再由平面图形的证明类比到立体图形的证明.由图4类比到图5中，四面体V-ABC中所求证的结论，类比为直角三角形中的勾股定理.

在图5中，过C作CD⊥AB，D为垂足，则AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=AB·（AD+BD）=AB2，于是，可类比得本题的证明方法：

如图4所示，过V作截面VAD⊥BC，则截面VAD⊥面ABC，

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三、总 结

数形结合的解题思想，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使形象思维和抽象思维结合起来，使初看很难或很繁杂的问题变得简单，为我们解决数学问题提供了多条渠道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到更大限度的发挥，它对于培养学生的学习兴趣及思维能力起到重要作用.