高等数学中反常积分教学的例谈

车晋

【摘要】积分学是高等数学中一个非常重要的内容.对于一元函数而言，其积分学主要包括两种类型，即定积分与反常积分.定积分在高数中的讨论较多，对于反常积分的研究和计算亟须强化.本文以举例的方法，着重阐述了高等数学中反常积分的基本概念以及两种常见的反常积分（无穷积分与瑕积分）的计算方法，旨在为更好地开展高数反常积分教学提供参考.

【关键词】高等数学；反常积分；教学；无穷积分；瑕积分；收敛性质

一、引 言

积分学是微积分理论体系中的一个十分重要的部分.一元函数的积分学主要包括定积分与反常积分两种类别，而反常积分又包括两种主要类型：无穷积分与瑕积分.不管何种类型的反常积分，均可视为定积分的推广，其本质属于极限形式.与定积分不同的是，反常积分属于一种更加一般的积分.在实际教学过程中，不能将定积分与反常积分混为一谈，二者应该区分开来.从定义而言，定积分并不具备反常积分的某些性质.由此可以得知，反常积分相较于定积分而言，研究其基本性质及计算方法等则更具意义.

图1

二、反常积分的基本概念

（一）引 例

例1 如图1所示，求曲线y=1x2，x轴与直线x=1的右边所围成的“开口曲边梯形”的面积大小.

解 根据上图及题干中的题意可以得知，该图形属于非封闭式的曲边梯形，而在x轴的正方向是开口的，即这时的积分区间为[1，+∞）.

由此可得：对于b>1，那么“开口曲边梯形”的面积可用下式进行表示：

∫b11x2dx=-1xb1=1-1b.

很显然地，b发生变化时，“开口曲边梯形”的面积也随之而发生变化，

所以，当b→+∞时，可得：

limb→+∞∫b11x2dx=limb→+∞1-1b=1.

由上述计算结果可得，图1中“开口曲边梯形”的面积为1.

（二）无穷积分与瑕积分的定义

1.无穷积分的定义

定义1 设函数f（x）在区间[a，+∞）上连续，取b>a，如果极限limb→+∞∫baf（x）dx存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间[a，+∞）上的无穷限的反常积分，可记为：

∫+∞af（x）dx=limb→+∞∫baf（x）dx.（1）

此时，也称反常积分∫+∞af（x）dx收斂；若上述极限不存在，就称反常积分∫+∞af（x）dx发散，这时记号∫+∞af（x）dx不再表示数值了.

图2

例如，如图2所示，求灰色部分的面积.

解 ∫+∞011+x2dx

=limb→+∞∫b011+x2dx

=limb→+∞[arctanx]b0=limb→+∞arctanb

=π2.

类似地，设函数f（x）在区间（-∞，b]上连续，取a

∫b-∞f（x）dx=lima→-∞∫baf（x）dx.（2）

这时也称无穷积分∫b-∞f（x）dx收敛；若上述极限不存在，就称反常积分∫b-∞f（x）dx发散.

设函数f（x）在区间（-∞，+∞）上连续，若反常积分∫0-∞f（x）dx和反常积分∫+∞0f（x）dx均为收敛积分，则称上述两无穷限的反常积分之和为函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的反常积分，可将其记作为如下式：

∫+∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫+∞0f（x）dx

=lima→+∞∫0af（x）dx+limb→+∞∫b0f（x）dx.（3）

此时，也称无穷积分∫+∞-∞f（x）dx收敛；否则就称无穷积分∫+∞-∞f（x）dx发散.

根据如上定义，可举例：计算反常积分∫+∞-∞dx1+x2.

解 ∫+∞-∞dx1+x2=∫0-∞dx1+x2+∫+∞0dx1+x2

=lima→-∞∫0a11+x2dx+limb→+∞∫b011+x2dx

=lima→-∞[arctanx]0a+limb→+∞[arctanx]b0

=-lima→-∞arctana+limb→+∞arctanb

=--π2+π2=π.

2.瑕积分

定义 设函数f（x）在区间（a，b]上连续，而在点a的右邻域内无界，取ε>0.如果极限：limε→0+∫ba+εf（x）dx存在，那么称此极限为无界函数f（x）在（a，b]上的反常积分，且仍然将该积分记为：∫baf（x）dx=limε→0+∫ba+εf（x）dx.（4）

这时也称反常积分∫baf（x）dx收敛，如果上述极限不存在，就称反常积分∫baf（x）dx发散.

类似地，设函数f（x）在区间[a，b）上连续，而在点b的左邻域内无界，取ε>0.

如果极限limε→0+∫b-εaf（x）dx存在，那么则可以做如下定义：

∫baf（x）dx=limε→0+∫b-εaf（x）dx.（5）

否则，就称反常积分∫baf（x）dx发散.

设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a

∫baf（x）dx=∫caf（x）dx+∫bcf（x）dx=limε→0+∫c-εaf（x）dx+ limε′→0+∫bc+ε′f（x）dx.（6）

否则，就称反常积分∫baf（x）dx发散.

例如，讨论反常积分∫1-1dxx2的收敛性.

解 被积函数f（x）=1x2在积分区间[-1，1]上除了x=0外连续，且 limx→01x2=∞，

由于∫0-11x2dx=limε→0+∫0-ε-11x2dx=limε→0+-1x-ε-1=limε→0+1ε-1=+∞.

即反常積分∫0-1dxx2发散，因此，反常积分∫1-1dxx2发散.

又如，讨论瑕积分∫101xpdx（p>0）的收敛性.

解 被积函数f在（0，1]上连续，x=0是瑕点.由于：

∫101xpdx=11-p（1-u1-p），p≠1，-lnu，p=1（0

因此，当0

∫101xpdx=limu→0+∫1u1xpdx=11-p；

当p≥1时，瑕积分发散于+∞.

根据如上关于无穷积分与瑕积分的定义及相关举例探讨，需要注意的是：反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点.反常积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，但是，代入上、下限时代入的是极限值.

三、无穷积分与瑕积分的收敛性质与判别

（一）无穷积分的收敛性质与判别

1.无穷积分的性质

性质1 若∫+∞af1（x）dx与∫+∞af2（x）dx都收敛，k1，k2为任意常数，则∫+∞a[k1f1（x）+k2f2（x）]dx也收敛，且

∫+∞a[k1f1（x）+k2f2（x）]dx=k1∫+∞af1（x）dx+k2∫+∞af2（x）dx.

性质2 如果f在任何有限区间[a，u]上可积，a

∫+∞af（x）dx与∫+∞bf（x）dx同收敛同发散，且

∫+∞af（x）dx=∫baf（x）dx+∫+∞bf（x）dx.

2.无穷积分的判别法

（1）柯西准则.无穷积分∫+∞af（x）dx收敛的充分必要条件是：

ε>0，G≥a，只要u1、u2>G，那么则有：

∫u 2u1f（x）dx<ε.

（2）狄利克雷判别法.如果F（x）=∫uaf（x）dx在[a，+∞）上有边界，g（x）在[a，+∞）上当x→+∞的时候单调趋于0，那么：∫+∞af（x）g（x）dx收敛.

（3）阿贝尔判别法.如果∫+∞af（x）dx收敛，g（x）在[a，+∞）上单调有界，那么：

∫+∞af（x）g（x）dx收敛.

例如，探讨如下无穷积分的收敛性：

（1）∫+∞1xaexdx.

（2）∫+∞0x2（x5+1）dx.

解 （1）对于任何一个α∈R，那么则有：

limx→+∞x2·xαe-x=limx→+∞xα+2ex=0，

根据柯西判别法，∫+∞1xaexdxα∈R均收敛.

（2）由于limx→+∞x12·x2x5+1=1，根据柯西判别法，则有∫+∞0x2（x5+1）dx发散.

（二）瑕积分的性质与判别法

1.瑕积分的性质

性质1 若f的瑕点为x=a，c∈（a，b）为任意常数，

则瑕积分∫baf（x）dx与∫caf（x）dx同敛态，且

∫baf（x）dx=∫caf（x）dx+∫bcf（x）dx.

性质2

若函数f的瑕点为x=a，f在（a，b]的任一内闭区间[u，b]上可积.则当∫+∞a|f（x）|dx收敛时，∫baf（x）dx必收敛，且

∫baf（x）dx≤∫ba|f（x）|dx.

2.瑕积分的判别方法

（1）柯西判别法.设f定义在（a，b]（a为瑕点）且在任何区间[u，b]（a，b]上可积，那么：

当f（x）≤1（x-a）p，且0

当f（x）≥1（x-a）p，且p≥1时，∫baf（x）dx收敛.

（2）A-D判别法.如果下列2个条件之一满足，均有：

∫baf（x）g（x）dx收敛，① （Abe1判别法）∫baf（x）dx收敛，g（x）在[a，b）上单调有界.

② （Dirichlet判别法）F（η）=∫b-ηaf（x）dx在[a，b）上有界，g（x）在[a，b）上单调且 limb-g（x）=0.

四、结 论

综上所述，由上述关于反常积分概念及无穷积分、瑕积分定义、性质及判别方法等的介绍可知，不管是无穷积分还是瑕积分，二者均属于定积分的推广.上述两种类别的反常积分的收敛性首先要以某类有限区间上的可积性作为根本前提.此外，还要求积分的上下限在某一个趋势条件的变限积分的极限存在.所以，在实际教学过程中，笔者从定义出发，对不同类型的反常积分的性质差异等进行区分，从而对学生更好地理解反常积分具有十分重要的意义.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.