把握数量关系，凝练比例思想

王焱烽

摘 要：在“解决问题”的教学中，教师应做到在分析数量关系的同时，注重解决问题策略的运用与概括，帮助学生找到解决问题的思路，获得关于问题解决的一般方法，取得数量关系运用与解决问题策略相得益彰的教学效果。本文以一道“用比例解决问题”错题的教学改进实证活动为例，阐明教师应借助问题解决过程，充分给予学生感知、运用数量关系的机会，让学生借助数量关系这一已有经验，体验比例思想在解决问题中的优越性，从而顺利接纳比例思想方法。

关键词：数量关系；解决问题；有效教学；比例思想；实证

当前，“解决问题”教学中有关“转化”“列表”等“策略与方法”的研究不胜枚举，但对其中蕴含的“数量关系”的实践活动关注不多，存在着思想上忽视、教学上弱化的现象。在具体教学中，数量关系教学缺乏与数学思想方法的紧密结合，导致学生解决问题的表现不如人意。作为曾经是“应用题”教学核心的“数量关系”，我们在“解决问题”的教学中，应该发挥其应有的功能，做到在分析数量关系的同时，注重解决问题策略的运用与概括，帮助学生找到解决问题的思路，获得关于问题解决的一般方法，达成数量关系与解决问题策略相得益彰的教学效果。

下面，笔者以六年级“用比例解决问题”中一道应用比例思想解决问题的错题为例，谈谈对这方面的思考。

一、错题再现

错题：在10千米赛跑中，假设甲、乙、丙三人的速度保持不变，当甲到达终点时，乙还距终点2千米，丙还距终点4千米。当乙到达终点时，丙还距终点多少千米？

该题从难易程度来看属于较难题，错误人数占班级总人数的40%左右。有学生认为：当乙到达终点时，丙还距终点2km（图1）。也有学生通过画图，认为“2km”是正确的（图2）。

仅有的个别学生的正确解答则以算术方法、假设法居多。（图3、图4）

二、访谈分析

学生刚学过的比例方法为何没能为学生带来解决问题的启发呢？笔者对此进行了访谈。

师：为什么是2千米呢？

生1：因为甲、乙、丙三人的速度保持不变，所以当甲到达终点时，乙还差甲2km，丙就应该差乙2km，所以丙还距终点2千米。

师：你用了假设的方法，你是怎么想的？

生2：假设它们都跑了1小时，这样就可以算出它们的速度分别是多少了。用路程=速度×时间，就可以算出他们分别跑了多少千米。也就能算出丙还距终点多少千米了。

师：你觉得能用比例的方法吗？

生2：应该可以吧。速度一定，时间和路程成反比例。

师：为什么没试试用比例的想法去做呢？

生2：我觉得算式往往比解比例要简便。

生3：比例虽然也能解答，但是还要写“解、设”什么的，麻烦了些。

师：你觉得能用比例方法来解答吗？

生4：我感觉好像找不到成比例的量。成什么比例啊？这道题有点难。

……

从学生访谈来看，面对“用比例解决问题”这个学习内容时，学生的学习态度与接受该知识的学习表现、错误原因不尽相同。其中，无法准确判断成什么比例关系、认为运用比例方法不方便且无法正确运用其他方法解决问题，是导致错误的主要原因。

1. 教学的角度，课堂教学没有让学生体验到用比例解决问题的优越性。

用正、反比例关系解决问题，对于学生来说并不陌生。如：

这批书如果每包20本，要捆18包。如果每包30本，要捆多少包？

学生在面对这道题时，很自然地提取原有知识经验：“先求一共有多少本書，再求可捆多少包”。对学生来说，利用归一、归总方法解决这类问题，方便又正确。“学生的计算通常是在保证结果正确的基础上更倾向于使用自己熟悉的方法”，这在一定程度上也反映了学生在“解决问题”中的真实心理。

于是，在利用比例知识解决问题时，自然也就产生了“为什么就不能用原来的方法解答”的想法。若教师在课堂上一味否定旧方法，没有让学生充分感受用比例解决问题的优越性，往往会加剧学生排斥新方法的心理，使教学陷入尴尬。

2. 学习的角度，学生不能顺利分析数量关系，不能用比例思想解决问题。

经教学实践观察，学生单独用正比例或反比例关系解题困难不大。但随着学习的深入，两种关系的问题会同时出现，此时因无法正确区分题中数量关系究竟是正比例还是反比例关系而导致错误频发。用比例关系解题，学生容易产生“用不好”“用不对”的心理。于是，转而利用原先的算术方法解答。

学生用比例知识解决问题时，首先要能够正确找出两种相关联的量，判断它们成什么比例。如果不能顺利提炼两个相关的量，并分析数量关系，也就意味着他很难再继续利用比例的思想来解决问题。

3. 知识本身的角度，知识综合性较强，用比例解决问题的思想较难感悟与建立。

比例、正比例、反比例是本单元学习的基本概念。比例的相关知识以及比例的应用，都有赖于对这些概念的理解和掌握。解答含正反比例关系的实际问题，学生需要用到多种知识，需要调用的思维经验也比较丰富。如比例的概念与比、除法、分数等相关知识，解比例及用比例方法解决问题，要用到方程的相关知识。学习中，既要联系新旧知识，又要综合运用知识，体验用比例解决问题这一新思想、新策略带给解决问题的长处。但由于思想的抽象，学生较难感悟与建立。

三、改进过程

一种思想的建立，既需要教师的有效教学作为，也需要学生的积极自我体验。如何让学生运用已有的数量关系认识，突破认知桎梏，体验全新思想，感悟比例思想呢？

第一层次：把握数量关系，体验比例方法的优越性。

练习1：张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。李奶奶家则用了10吨水。李奶奶家上个月的水费是多少元？

小结：用比例方法解决问题时，先要找出是哪些数量，这些数量有什么关系，再根据同一种数量关系来列式。

练习2：一个晒盐场用100g海水可以晒出9g盐。照这样计算，如果一块盐田一次放入585000吨海水，可以晒出多少吨盐？多少吨海水可以晒出9吨盐？

总结：运用旧方法，需要转化单位名称，“吨”和“g”之间的换算并不容易。运用新方法：不受单位名称的影响，只要运用相同的数量关系列出比例式，就能使计算变得方便、简洁。

第二层次：感悟比例思想，丰富解决问题策略。

1. 填空：

甲、乙两人完成同一项工作，甲、乙的工作时间比是3∶4，工作效率比是（ ）∶（ ）。

甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲、乙的速度比是3∶2，甲、乙两人所行的路程比是（ ）∶（ ）。

2. 小结：有些题目中虽然没有具体的数量，但可以通过寻找数量间的比例关系解决问题。

3. 思考：服装厂计划每天加工100套服装，20天完成。由于改进了技术，计划每天做的是实际的4/5，实际需要几天完成？

生1：解：设实际需要x天完成。

总结：根据题中条件可知，数量关系是：工作总量=工作效率×工作时间。工作总量一定，工作时间与工作效率成反比，20×4/5的算法中蕴含了比例的思想方法。

第三层次：纠正错误认识，总结问题解决经验。

出示：在10千米赛跑中，假设甲、乙、丙三人的速度保持不变，当甲到达终点时，乙还距终点2千米，丙还距终点4千米。当乙到达终点时，丙还距终点多少千米？

1. 反馈：

生1：4-2=2千米。

生2：假设甲花了2小时到达终点。

乙：（10-2）÷2=4千米/时，

10÷4=2.5小时。

丙：（10-4）÷2=3千米/时，

10-3×2.5=2.5千米。

生3：解：设乙到终点后丙跑了x千米，

6∶8=x∶10

x=7.5

10-7.5=2.5千米。

生4：10∶8∶6=5∶4∶3，

2÷4×3=1.5千米，

4-1.5=2.5千米。

2. 引导：

师：除了用假设法，尝试用比例的想法解答。从题中可以知道，三人的速度保持不变，还有什么也是不变的？也就是说，时间一定，什么和什么成什么比例关系？

3. 总结：

（1）有些习题用比例方法解答比较方便。

（2）解决问题的方法，可以是算术方法、方程方法，也可以用比例解答，更可以在解题过程中运用比例的思想来解答。

（3）在解决问题时，要懂得灵活选用合适的方法。

四、 实践反思

首先，在数学学习中，学生对一种新知识、新思想的理解、内化，直至自如应用，具有过程性。本次干预过程，并不是一次完成的，分阶段、缓坡度，体現了错题干预的过程性特点。面对纠错，教师需要有通盘的教学设计。既要懂得承前：分析学情，立足旧知，打下扎实的前期学习基础；又要懂得启后，为后续运用知识提供学习、思考的能力保证。

其次，方程、比例等问题解决方法，其实都蕴含了丰富的数量关系。在教学中，教师应该通过实例，借助问题解决过程，充分给予学生体验数量间关系的机会。以本文所举为例，学生在解决过程中体验比例思想解决问题的优越性，有助于学生完善解决问题的策略。数量关系，因有比例的思想方法引领而得以进一步被学生把握、理解；比例思想方法，则因有数量关系这一已有经验的根基，使学生得以顺利接纳，成为其新的认知结构与问题解决策略。显然，这为学生日后“善于在任何情况下选择适当的方法，从中找出解决问题最便捷、可靠的途径”提供了丰富而深刻的活动经验，学生也由此经历有意义的学习生长过程。