在数学解题中培养学生的元认知能力

黄银色

[摘 要] 高元认知能力者解决问题的能力明显高于低元认知能力者，在数学解题上则表现得更为突出. 解题教学的目的不是纯粹为了教会学生解几道题或几类题，而是要让学生在解题的实践中获得题感，再从题感中提炼和升华数学思想方法，最终内化成学生的一种元认知能力.

[关键词] 数学解题；元认知能力；调节；监控；完善

数学元认知能力是指学生在数学学习，特别是在数学解题活动过程中，对数学认知过程的自我意识、自我监控、自我调节的能力. 它以元认知知识和元认知体验为基础，并在数学认知活动过程中起指导、支配、决策、监控、调节的作用.

元认知理论告诉我们，有较强数学元认知能力的学生，在数学解题时，一方面能充分认识自身的知识水平、能力水平、智力水平、认知方式等，能对当前数学问题的结构特征、呈现方式、知识要求、任务目标等有较清晰的认识和预见，另一方面又懂得根据当前数学问题随机应变，自主计划、主动监控、自如调节，以最优化的思路、方法、路径去实现解题目标. 有研究资料表明，高元认知能力者解决问题的能力明显高于低元认知能力者，在数学解题上则表现得更为突出.

根据波利亚的《怎样解题》，数学解题的一般步骤为：弄清问题、拟订计划、实施计划、回顾解题. 本文将通过例题，浅谈在解题的各个阶段中该如何培养学生的元认知能力.

案例

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC， AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N. 若∠BAD=∠BCD， AM=AN，求证四边形ABCD是菱形.

1. 弄清问题

学生读题后，教师提示：

（1）题目的条件和目标分别是什么？

（2）根据每一个条件思考给出此条件的目的是什么？

（3）是否明确了要完成的任务？

若老师能经常用这些提示语启发和引导学生思考并逐渐将这些知识内化为学生的自觉行动，帮助学生养成了元认知习惯，往往能打破思维的僵局，找到解决问题的切入点或突破口.

2. 拟订计划

提示1：要实现目标，有几种解决目标的方法？它们都是什么？

要证明一个四边形是菱形，学生必须在头脑中构建一个菱形判定方法的知识网络：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边都相等的四边形是菱形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（4）对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.

提示2：这些方法能用来解决本问题的有哪些？怎样寻找思路？

提示3：是否在几种思路中优先考虑最优思路？

学生们通过分析对比，发现本题特殊之处在于：已知一组对边平行，一组对角相等，所以优先考虑“一组邻边相等的平行四边形是菱形”来证明，其他方法的证明都不可取.

方法1：因为AD∥BC，所以∠BAD+∠B=180°. 因为∠BAD=∠BCD，所以∠BCD+∠B=180°，所以AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形. 所以∠B=∠D. 因为AM=AN，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ABM≌Rt△ADN. 所以AB=AD，所以平行四边形ABCD是菱形.

方法2：如图2，连接BD，因为AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC. 因为∠BAD=∠BCD， BD=BD，所以△ABD≌△CDB，所以AD=BC. 所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC. 因为AM=AN，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ABM≌Rt△ADN，所以AB=AD. 所以平行四边形ABCD是菱形.

方法3：如图3，连接AC，因为AM=AN，AC=AC，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ACM≌Rt△ACN，所以∠ACB=∠ACD. 因为AD∥BC，所以∠ACB=∠CAD，所以∠ACD=∠CAD，所以DC=AD. 因为∠BAD=∠BCD，所以∠BAC=∠ACD，所以AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以平行四边形ABCD是菱形.

通过以上的提示，学生的数学元认知知识对问题解决有目标导向作用，在头脑中建立一个解决该问题的知识网络，从中寻找解决问题的最佳方法，最后形成稳定、有效、可控制的元认知技能，从而促进学生解决问题能力的提高和思维方式的迁移.

3. 实施计划

当学生找到解题思路后，教师继续提示：

（1）你充分地进行双向推理了吗？

（2）你选择的方法需要添加必要的辅助线吗？

通过提示，让学生理清了双向推理的证明思路. 例如第一种方法（不需添加辅助线）的分析过程：

①要证四边形ABCD是菱形四边形ABCD是平行四边形（要证），AB=AD（要证）；

②要证四边形ABCD是平行四边形？圯AD∥BC（已知），AB∥DC（要证）；

③要证AB∥DC？圯AD平行BC（已知）？圯∠BAD+∠B=180° ∠BAD=∠BAC？圯∠BAC+∠B=180°（证平行）；

④要证AB=AD？圯△ABM≌△ADN？圯AM⊥BC，AN⊥DC，∠B=∠C，AM=AN.

几何证明题关键在于分析推理，在分析的过程中教师要通过一些提示语，教会学生如何从问题找条件来分析推理，或从条件推结论分析推理，使学生能展示思考分析过程. 这样学生的思维才能得到有效训练，慢慢积累元认知经验，形成元认知习惯，提高元认知能力.

4. 回顾解题

解完题目之后，教师引导学生思考：（1）本题的思路特点是什么？（2）这个思路还可以用来解决什么问题？学生据此展开讨论.

解题后，引导学生再现解题的经历，抽取解决问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思解题过程的成败得失及其原因，从思维策略的高度对解題过程进行总结，从中概括出一般性规律，概括出点点滴滴的新经验、新见解、新体会，以及对问题进行推广、深化，可以有效培养学生评价、调节、监控、完善等元认知能力.

结束语

在解题教学中，数学元认知的监控、调节作用能帮助学生正确解题，所以必须注重培养学生养成良好的认知方法和思维策略.

1. 对于复杂的题目，应当帮助学生建立一个有层次的目标体系，即把问题的解决分成几个有序的阶段，建立阶段目标，一步一步地逼近整个问题的解决. 这样可以在整个解题过程中都能清楚地认识自己目前所处的位置，养成优质的元认知经验.

2. 在解题中注重对学生解题思维的训练，利用一些在数学解题过程中常用的思维方法，指导学生根据问题的特点和要求灵活和综合运用数形转换、分类讨论、归纳猜想、类比联想等常用的数学解题策略去分析问题和解决问题. 还应着重强调这些策略使用的条件，使策略成为“条件化的知识”，最后形成稳定而有效的、可控的元认知技能.

3. 不断引领学生对学习过程及其结果、学习策略及其效果进行监控、评价，充分发挥元认知本身所具有的监控、调节特点，加强元认知体验训练，使学生的元认知能力得到充分的发展.

总之，解题教学的目的不是纯粹为了教会学生解几道题或几类题，而是要让学生“既看到树木，又见到森林”. 要在解题的实践中让学生获得题感，再从题感中提炼和升华数学思想方法，最终内化成为学生的一种元认知能力.