基于APOS理论下的高中数学概念教学

陈一梅

【摘 要】APOS理论是由美国数学教育学家杜宾斯基等人提出的一种建构主义的数学学习理论。该理论展现了数学概念形成过程需经过四个阶段：活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）。基于APOS理论的指导下，以“等差数列”的概念教学为例来探究APOS理论在高中数学概念教学中的应用，并进行思考。

【关键词】APOS理论；高中数学；概念教学；等差数列

1.引言

APOS理论模型是在美国数学教育学家杜宾斯基等人共同努力下创立的一种建构主义的数学学习理论模型，该理论模型强调数学概念学习实质，提出数学概念学习过程是一种自身的心理构造且必经思维的活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段。概念教学是高中数学教师教学中的瓶颈，又是高中数学教学中至关重要的环节，主张概念是不可直接学习。在传统模式下的概念教学中，教师一以贯之的盛行做法是：一个概念→几点注意→例题讲解→海量刷题，让学生在概念教学时“吃快餐”，且在对概念的认识还处于蒙昧无知的情形下就把学生当成解题的奴隶，以此来加深学生对概念的记忆与理解。然而，该做法常常欲速不达，最终学生还是对概念一知半解。因此，探索高效的数学概念教学方法已是大势所趋，同时是高中数学教师的急切需求。本文基于APOS理论下，以“等差数列”的概念教学为例探究高中数学概念教学，以期抛砖引玉。

2.教学设计

2.1教材分析

等差数列的概念是人教版A版必修五第二章第二节的内容。首先，等差数列是一种特殊的数列，数列是一种特殊的函数。然而学习本节内容之前，学生已经习得一次函数概念和数列基本知识。并且在必修二的学习中学生已获悉直线的方程是二元一次方程，如果任取直线上不同的两点（x■，y■），（x■，y■），可得直线斜率k=■（x■≠x■）。在等差数列中任取不同的两项a■与a■（m≠n，且m，n∈N■），得等差数列的公差d=■，可知等差数列的公差求法与直线斜率求法相似；其次，教材起初由实数的运算和性质出发，让学生切实感受生活中的数学价值。紧随其后的是“观察”和“思考”栏目，旨在给予学生自主探究、学习的空间，培养学生独立思考的能力。通过等差数列概念的学习可为今后学习等比数列的概念和数列极限夯实基础；最后，教材有意编排诸多等差数列的实例，力促让学生由实际生活出发构建等差数列的模型，运用等差数列知识解决实际生活当中的简单问题，在此过程中促进学生牢固掌握和深入理解等差数列的概念。

2.2教学目标

知识与技能：理解等差数列的概念、公差、等差中项，掌握等差数列的通项公式，能运用通项公式解决实际生活中的简单问题。

过程与方法：通过对等差数列概念的归纳概括且经历通项公式的推导过程，体验从特殊到一般的认知规律，培养学生的观察、归纳、推理、分析能力，渗透归纳与化归思想。

情感、态度与价值观：通过从实际生活的例子出发，感受生活中处处有数学，体会数学价值，提高学生的自主探索能力，养成良好的数学探究习惯。

2.3教学重、难点

教学重点：等差数列的概念，通项公式的推导。

教學难点：等差数列的概念，通项公式的推导与灵活应用。

2.4基于APOS理论下的教学过程

（1）活动（Action）阶段——情境引入，激发兴趣

APOS理论的活动阶段，目的在于让学生切实体验活动过程，构建概念框架。概念教学中教师可以引导学生复习上一节课所学的数列定义、通项公式、递推公式，随后导入情境，激发兴趣，引发学生自主探索思考。

情境1：在日历中任意框选n×n的n■个数字，如图1所示，并横看，竖看，斜看，观察框选的数字，归纳总结这些数字的特点。

情境2：一长方形桌子刚好坐下6人，现将桌子按图2所示拼在一起，试计算第n张可坐几人？

情境3：玩“数字接龙”游戏，具体为教师提供一个数字，例如数字3，学生从该数字说起，但每逢这个数的倍数要用拍掌代替。

情境1旨在通过生活事物（日历），引发学生观察、发现规律；情境2让学生自主探索规律，并利用规律计算所求；情景3由游戏活动出发，促使学生在玩中意识到游戏特征（每隔3位同学就要拍掌）。总之，学生通过情境活动环节的体验，可深入了解等差数列特点，为概念的形成做好铺垫。

（2）过程（Process）阶段——探索规律，形成概念

APOS理论的过程阶段，目的在于让学生自主探索规律，并进行概括总结，形成概念。概念教学中引导学生对以上3例情景进行探究归纳，概括共同特征，最后总结且表述概念。教师要强调概念中“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一常数”字眼，并举反例说明，加深学生印象，促使学生深入理解概念。对于等差数列通项公式的证明，教师提示学生从等差数列的定义入手，由学生自主尝试证明。最终教师巡视学生的证明情况，给予辅助，选取学生中典型证明方法并在班级上展现出来。

学生1（累加法）：

∵{a■}是等差数列

∴a■-a■=d，a■-a■=d，a■-a■=d…a■-a■=d

对上面各式等号两边进行相加，得结果a■-a■=（n-1）d，则a■=a■+（n-1）d。

（下转第7页）（上接第5页）

学生1（迭代法）：

∵{a■}是等差数列

∴a■=a■+d=a■+d+d=a■+2d=a■+d+2d=a■+3d=…=a■+（n-1）d，

∴a■=a■+（n-1）d

……

由此可知，已知等差数列的首项a■与公差d，则可求其通项公式。

（3）对象（Object）阶段——概念巩固，内化提升

APOS理论的对象阶段，是对概念进行“加工”，促使能够深入理解概念本质。概念教学中可选取典型习题，让学生通过习题演练，巩固概念并内化概念认知结构。

例1：{a■}为等差数列，下列数列还是等差数列的是__

A.{a■+3} B.{a■■} C.{a■-a■} D.{2a■} E.{2a■+n}

本题考察学生对等差数列概念的理解，解题的关键在于判断变形后的数列是否还为含有n的一次函数或常数列，故答案为A、C、D、E。

例2：两等差数列a，x■，x■，b和a，y■，y■，y■，b，其中a≠b，公差分别为d■和d■，则■为____。

本题考察学生对公差的理解与应用能力，解题的突破口要抓住两数列都含有a，b，所以把d■和d■都用含a，b的式子表示出来，算出■=■（d■=■，d■=■）。

例3：数列{a■}和{b■}都为等差数列，其中a■为25，b■为75，a■+b■为100，则数列{a■+b■}的第10000项是__。

本题重在考察学生的观察与知识综合运用能力，首先要意识到数列{a■+b■}仍为等差数列，且a■+b■=100，a■+b■=100，得知数列是常数列，则a■+b■=100。

（4）图式（Scheme）阶段——归纳总结，构建图式

APOS理论的图式阶段，是对四个阶段的概括整合，图式的构建有助于完善概念认知结构。概念教学中教师可以以提问方式，让学生在解决问题中归纳总结。

提问1：证明一个数列是等差数列有哪几种方法？

[归纳总结]①定义法：a■-a■=d（常数），其中n≥2且n∈N■；②等差中项法：2a■=a■+a■，其中n≥2且n∈N■。

提问2：等差数列的通项公式是否还可以变形？

[归纳总结]任取m，k∈N■，由等差数列{a■}，得a■=a■+（m-1）d，a■=a■+（k-1）d，两式等号两边相减，可得a■-a■=（m-k）d，则a■=a■+（m-k）d。

提问3：等差数列與一次函数有何异同点？

[归纳总结]等差数列{a■}中，a■=a■+（n-1）d，变形得a■=nd+（a■-d），n∈N■。当d=0时，a■=a■，数列{a■}是常数列，即是常函数；当d≠0时，a■是关于n的一次函数，图象为一列孤立点，即为直线y=dx+（a■-d）的横坐标是正整数所对应点的集合。而一次函数y=kx+b（k≠0），其图象是一条连续的直线。观察图象可得，等差数列{a■}的公差d就是直线y=dx+（a■-d）的斜率，于是d=■，即为斜率公式。

3.教学反思

APOS理论下的概念教学必需经历活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段，缺一不可。该四个阶段不是在一节课或每一课都要体现出来，是要经过一定时间的“洗礼”，让数学概念在学生的头脑中进行“沉淀”：经历一些探究等活动，逐渐由“过程”过渡到“对象”的理解，后再由“对象”锻造“图式”的构成。这样环环相扣，循序渐进，促进概念的形成。另外，在教学过程中教师要充分考虑概念的不同特点、学生的学习心理特点和认知规律，再科学合理地针对每一阶段进行教学设计。课堂上在四个阶段中应该大力挖掘学生的内在潜能，激发学生的好奇心，培养学生的创新能力，最大化地发挥出APOS理论的作用，促进概念教学的效果达到最佳。

【参考文献】

[1]角碧波，张湘君.基于APOS理论的高中数学概念教学——以“直线的倾斜角与斜率”的概念教学为例[J].新课程教学（电子版），2015（02）：7-10

[2] 王静，段有强.APOS理论指导下的初中数学概念教学——以“二次函数”为例[J].数学教学通讯，2016（14）：7-9