中考数学中的“新定义”题型

陈慧颖

通过阅读材料渗透新概念、新运算、新符号、新规定等知识，是近年中考的又一考题类型.结合已经学过的知识、掌握的技能进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移，就能很好地处理好它.因此在复习中应该重视培养阅读理解新知识并应用新知识解决问题的能力.把握“新定义”内涵，是解决此类问题的关键.

考点一：“运算型”新定义

例1 对于实数a、b，定义一种运算“?”为：a?b=a2+ab-2，有下列命题：

①1?3=2；

②方程x?1=0的根为：x1=-2，x2=1；

③不等式组

[-2?x-4<0，1?x-3<0]的解集为：-1

④点（[-12]，[52]）在函数y=x?（-1）的图像上.

其中正确的是（ ）.

A.①②③④ B.①③

C.①②③ D.③④

【分析】根据新定义得到：

1?3=12+1×3-2=2；

x?1=0可化为：x2+x-2=0；

[-2?x-4<0，1?x-3<0]实为[-2x-2<0，x-4<0，]解得

-1

y=x?（-1）=x2-x-2，然后把x=[-12]代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断.

解：1?3=12+1×3-2=2，所以①正确；

∵x?1=0，∴x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=1，所以②正确；

∵（-2）?x-4=4-2x-2-4=-2x-2，

1?x-3=1+x-2-3=x-4，

∴[-2x-2<0，x-4<0，]

解得-1

∵y=x?（-1）=x2-x-2，

∴当x=[-12]时，y=[14]+[12]-2=[-54]，

所以④错误.故选C.

【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式組的解法以及如何判断一个点是否在二次函数图像上等知识.

考点二：“规律型”新定义

例2 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22016的值.

解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①

将等式两边同时乘2得：

2S=2+22+23+24+25+…+22016+22017，②

②-①得2S-S=22017-1，

即S=22017-1.

∴1+2+22+23+24+…+22016=22017-1.

请你仿照此法计算：

（1）1+2+22+23+24+…+210；

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）.

【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，将两边同乘2后所得式子与所设式相减，即可求出所求式子的值.

（2）同样的方法，设S=1+3+32+33+34+…+3n，但两边同乘3.当底数为几时，所设式子两边就要同乘几.

解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，①

两边同时乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211，②

②-①得：2S-S=211-1，即S=211-1，

∴1+2+22+23+24+…+210=211-1；

（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，①

两边同乘3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，②

②-①得：3S-S=3n+1-1，

即S=[12]（3n+1-1），

∴1+3+32+33+34+…+3n=[12]（3n+1-1）.

【点评】各式中后一项与前一项的比值为一确定的数，这就是此类题目的特点.充分利用同底数幂的乘法法则是解本题的关键.

考点三：“阅读型”新定义

例3 我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）.已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是 （写出1个即可）.

【分析】根据等边三角形的性质：最长的“面径”是等边三角形的高线，最短的“面径”平行于三角形一边，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径.

解：如图1，（1）由于等边三角形一边上的高将图形分成面积相等的两部分，所以等边三角形的高AD是它的面线，同时也是最长的面径，AD=[32]×2=[3]；1

（2）当EF∥BC时，且满足S△AEF=S四边形BCFE时，EF为最短面径，

此时，（[EFBC]）2=[12]，由BC=2，得EF=[2].

所以它的“面径”长可以是[2]、[3]或介于[2]和[3]之间的任意实数.

【点评】本题考查了等边三角形的性质.读懂题意，弄明白“面径”的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的“面径”是解题的关键.

考点四：“探索型”新定义

例4 如图2，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：

（1）如图2，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.

（2）如图3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图3中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E.

拓展探究：

（3）如图4，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的數量关系.

【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC.

（2）由于点E在AB上，所以只需满足∠DEC是直角，那么E点就是强相似点.

（3）因为点E是梯形ABCM的边AB上的一个强相似点，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解.

解：（1）如图2，点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°.

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°.

∴∠ADE=∠BEC.

又∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

（2）如图5，以CD为直径作圆交AB于两点即为所求的两个强相似点.

（3）如图4，∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM.

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，CE=CD，

∴BE=[12]CE=[12]CD=[12]AB，即E是AB的中点，

在Rt△BCE中，tan∠BCE=[BEBC]=tan30°.

∴[BEBC]=[33]，

∴[ABBC]=[233].

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形、圆的性质，以及理解相似点和强相似点的新概念等.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）