以静制动
2018-08-15高灵敏
高灵敏
动态问题顾名思义就要有动的元素.可以是某一元素或两元素,它们的运动变化导致问题的结论改变或者保持不变,这揭示了“运动”与“静止”,“一般”与“特殊”的内在联系.
解这类问题的关键是分清几何元素运动的方向和路径,注意在运动过程中哪些是变量,哪些是不变量,并且正确分析变量与其他量之间的内在联系,建立它们之间的关系,有时还要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论.这类试题还往往要综合运用勾股定理、相似三角形、方程、函数等知识来解决.
例1 (2017·徐州)如图1①,菱形ABCD中,AB=5cm,动点P从点B出发,沿BC—CD—DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它们运动的速度相同.设点P出发xs时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与x之间的函数关系如图1②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分,请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)当1 (填“变”或“不变”); (2)分别求出线段OM,曲线NK所对应的函数表达式; (3)当x为何值时,△BPQ的面积是5cm2? 【分析】(1)根据函数图像即可得到结论;(2)设线段OM的函数表达式为y=kx,把M(1,10)代入即可得到线段OM的函数表达式;设曲线NK所对应的函数表达式为y=a(x-3)2,把(2,10)代入得到曲线NK所对应的函数表达式;(3)把y=5分别代入y=10x和y=10(x-3)2即可得到答案. 解:(1)由函数图像知,当1 (2)设线段OM的函数表达式为y=kx, ∵图像过M(1,10),∴10=k, ∴线段OM的函数表达式为y=10x; ∵点P作匀速运动,且菱形的各边相等,故P在三边上运动所需时间相同. ∴K(3,0),∴设曲线NK所对应的函数表达式为y=a(x-3)2, ∵图像过(2,10), ∴10=a(2-3)2,解得a=10, ∴曲线NK所对应的函数表达式为: y=10(x-3)2. (3)把y=5代入y=10x得:x=[12], 把y=5代入y=10(x-3)2,得:5=10(x-3)2, 解得x=3±[22],∵3+[22]>3,故舍去. ∴当x=[12]或3-[22]时,△BPQ的面积是5cm2. 【点评】这类题的一般做法是:弄清两图的对应关系,即弄清点P、Q如何运动可得到右图对应的图像,但该题只要重点看右图即可解决.本题有个小“陷阱”,只说P、Q运动速度相同,没说运动起始时刻是否相同,若你有P、Q同时运动的思维定式,可能会绕不出来. 例2 (2017·无锡)操作:“如图2,P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外),过点P作PC⊥x轴于点C,点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换. (1)点P(a,b)经过T变换后得到的点Q的坐标为 ;若点M经过T变换后得到点N(6,[-3]),则点M的坐标 . (2)A是函数y=[32x]图像上异于原点O的任意一点,经过T变换后得到点B. ①求经过点O、点B的直线的函数表达式; ②如图3,直线AB交y轴于点D,求△OAB的面积与△OAD的面积之比. 【分析】(1)连接CQ,可知△PCQ为等边三角形,过Q作QD⊥PC,利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长,则可求得Q点坐标;设出M点的坐标,利用P、Q坐标之间的关系可得到点M坐标的方程,可求得点M的坐标. (2)①可取A(2,[3]),利用T变换可求得B点坐标,利用待定系数法可求得直线OB的函数表达式;②用同底的两个三角形面积之比等于高的比,可求得△OBD的面积与△OAD的面积之比,进而求出△OAB的面积与△OAD的面积之比. 解:(1)如图4,连接CQ,过Q作QD⊥PC于点D,由旋转的性质可得PC=PQ,且∠CPQ=60°,∴△PCQ为等边三角形, ∵P(a,b),∴OC=a,PC=b,∴CD=[12b],DQ=[32]b,∴Q(a+[32]b,[12b]). 事实上,不论P(a,b)在第几象限,变换后的點Q的坐标始终为Q(a+[32]b,[12]b). 设M(x,y),则N点坐标为(x+[32]y,[12]y), ∵N(6,[-3]), ∴[x+32y=6,12y=-3,]解得[x=9,y=-23,] ∴M(9,[-23]). (2)①∵A是函数y=[32x]图像上异于原点O的任意一点,∴可取A(2,[3]), ∴2+[32]×[3]=[72],[12]×[3]=[32], ∴B([72],[32]), 设直线OB的函数表达式为y=kx,则[72]k=[32],解得k=[37], ∴直线OB的函数表达式为y=[37]x; ②[S△OBDS△OAD]=[722]=[74],[S△OABS△OAD]=[34]. 【点评】该题首先要弄懂T变换;其次一般表示点A会含有字母,我们这里直接取定点A(2,[3]),用了以“特殊”代替“一般”的思想. (作者单位:江苏省丰县初级中学)