以静制动

高灵敏

动态问题顾名思义就要有动的元素.可以是某一元素或两元素，它们的运动变化导致问题的结论改变或者保持不变，这揭示了“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系.

解这类问题的关键是分清几何元素运动的方向和路径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些是不变量，并且正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关系，有时还要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论.这类试题还往往要综合运用勾股定理、相似三角形、方程、函数等知识来解决.

例1 （2017·徐州）如图1①，菱形ABCD中，AB=5cm，动点P从点B出发，沿BC—CD—DA运动到点A停止，动点Q从点A出发，沿线段AB运动到点B停止，它们运动的速度相同.设点P出发xs时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与x之间的函数关系如图1②所示，其中OM，MN为线段，曲线NK为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当1

（填“变”或“不变”）；

（2）分别求出线段OM，曲线NK所对应的函数表达式；

（3）当x为何值时，△BPQ的面积是5cm2？

【分析】（1）根据函数图像即可得到结论；（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，把M（1，10）代入即可得到线段OM的函数表达式；设曲线NK所对应的函数表达式为y=a（x-3）2，把（2，10）代入得到曲线NK所对应的函数表达式；（3）把y=5分别代入y=10x和y=10（x-3）2即可得到答案.

解：（1）由函数图像知，当1

（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，

∵图像过M（1，10），∴10=k，

∴线段OM的函数表达式为y=10x；

∵点P作匀速运动，且菱形的各边相等，故P在三边上运动所需时间相同.

∴K（3，0），∴设曲线NK所对应的函数表达式为y=a（x-3）2，

∵图像过（2，10），

∴10=a（2-3）2，解得a=10，

∴曲线NK所对应的函数表达式为：

y=10（x-3）2.

（3）把y=5代入y=10x得：x=[12]，

把y=5代入y=10（x-3）2，得：5=10（x-3）2，

解得x=3±[22]，∵3+[22]>3，故舍去.

∴当x=[12]或3-[22]时，△BPQ的面积是5cm2.

【点评】这类题的一般做法是：弄清两图的对应关系，即弄清点P、Q如何运动可得到右图对应的图像，但该题只要重点看右图即可解决.本题有个小“陷阱”，只说P、Q运动速度相同，没说运动起始时刻是否相同，若你有P、Q同时运动的思维定式，可能会绕不出来.

例2 （2017·无锡）操作：“如图2，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换.

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，[-3]），则点M的坐标 .

（2）A是函数y=[32x]图像上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B.

①求经过点O、点B的直线的函数表达式；

②如图3，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比.

【分析】（1）连接CQ，可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐标之间的关系可得到点M坐标的方程，可求得点M的坐标.

（2）①可取A（2，[3]），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线OB的函数表达式；②用同底的两个三角形面积之比等于高的比，可求得△OBD的面积与△OAD的面积之比，进而求出△OAB的面积与△OAD的面积之比.

解：（1）如图4，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，

∵P（a，b），∴OC=a，PC=b，∴CD=[12b]，DQ=[32]b，∴Q（a+[32]b，[12b]）.

事实上，不论P（a，b）在第几象限，变换后的點Q的坐标始终为Q（a+[32]b，[12]b）.

设M（x，y），则N点坐标为（x+[32]y，[12]y），

∵N（6，[-3]），

∴[x+32y=6，12y=-3，]解得[x=9，y=-23，]

∴M（9，[-23]）.

（2）①∵A是函数y=[32x]图像上异于原点O的任意一点，∴可取A（2，[3]），

∴2+[32]×[3]=[72]，[12]×[3]=[32]，

∴B（[72]，[32]），

设直线OB的函数表达式为y=kx，则[72]k=[32]，解得k=[37]，

∴直线OB的函数表达式为y=[37]x；

②[S△OBDS△OAD]=[722]=[74]，[S△OABS△OAD]=[34].

【点评】该题首先要弄懂T变换；其次一般表示点A会含有字母，我们这里直接取定点A（2，[3]），用了以“特殊”代替“一般”的思想.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）