浅谈如何巧妙添加辅助线

冯前进

[摘 要]用简单已知的图形去探索较复杂未知的图形，是我们学习平面几何最重要也是最基本的方法。在求解大多数几何问题时都需要添加辅助线，通常我们遇到的几何图形通过添加辅助线，使其转换为特殊的平行四边形、三角形、特殊角、特殊位置、特殊关系等来解决问题。本文主要归纳了三角形、梯形、圆等几何图形中添加辅助线的常用方法。

[关键词]辅助线；基本图形； 平行四边形 ；三角形

一、添辅助线有二种情况

1.按定义添辅助线

如证明两直线垂直可延长使它们相交后证明交角为90°；证线段倍、半关系，可将倍线段取中点或半线段加倍；证明角的倍、半关系也可类似添辅助线。

2.按基本图形添辅助线

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形。

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线。

【例1】：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

分析：利用作平行线把梯形底角放在一个三角形内。

（2）等腰三角形是个简单的基本图形。

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

【例2】：如图2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE。求证：BD=2CE。

分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形。

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

【例3】：如图3，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：EF//AD。

分析：连DF并延长，利用全等即得中位线。

二、基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线；

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

【例11】：如图11，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G.求AG：AC的值.

解法1： 如图11—1，延长FE交CB的延長线于H.

解法2： 如图11—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，即AB∥MC.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰；

（2）梯形外平移一腰；

（3）梯形内平移两腰；

（4）延长两腰；

（5）过梯形上底的两端点向下底作高；

（6）平移对角线；

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点；

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线；

（9）作中位线。

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

【例12】：已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连结CE。

（1）如果，，，求的度数；

（2）设和四边形的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值。

解法1 如图12-1，延长BA、CD交于点F.

解法2 如图12-2，作DF∥AB分别交CE、CB于点G、F则，得平行四边形ABFD同解法1可证得为等边三角形.

解法3 如图12-3，作交CD于G，交BC的延长线于F作，分别交CE、BC于点H、I则，得矩形AEHG.

总而言之，要学好几何图形中辅助线的添加不是靠记忆概念，也不是靠盲目的题海战术，要学会对题目类型的归纳，对知识点类型的归纳，在对题型以及知识点能熟练应用的情况下，还要认真总结。三角形、特殊四边形是几何的基本图形，我们不仅要学好三角形、特殊四边形中的辅助线添加，更是在生活中应用数学，发现数学，这样才会让生活更加丰富多彩。

参考文献：

[1]周洁 、田洪英 、杜元钦；几何教学中创新思维能力的培养[J]；山东教育；2002年Z4期.

[2]廖秋梅；辅助线是转化思想的具体体现[J]；河池学院学报；2005年S1期 .