解析导数的五大应用

庄云

【摘 要】本文主要对导数在中学数学中的五个方面进行了详细的归纳。分别为在求函数单调性与极值（最值）的方面应用，在解析几何方面的应用，在不等式及等式方面的应用。

【关键词】中学数学导数；应用

根据今年高考精神，导数的应用将作为一个重要知识点在高考卷中考查，并且利用导数方法往往会比传统的初等方法显得更简便、更易行、更有效、下面就导数的应用归纳如下：

一、求切线的斜率（或切线的方程）

分析：函数y=f（x）在点x■处的导数的几何意义，即为曲线y=f（x）在点（x■，f（x■））处切线的斜率，即经过曲线C上一点P（x■，（f（x■））的切线方程为y-y■=f'（x■）（x-x■）。

例1：求曲线y=sinx在点（■，■）处的切线方程。

解：由y=sinx可知，y'=cosx。故y'|■=■■，即曲线在点（■，■）斜率为■。从而切线方程为y-■=■（x-■）。

即■x-2y-■π+1=0为所求。

注：利用复合函数的求导法则也可以求圆锥曲线在其任意一点处切线的斜率。

二、判断函数的单调性

分析：一般地，设函数y=f（x）在某个区间可导，如果f'（x）>0，则f（x）为增函数；如果f'（x）<0，则f（x）为减函数；如果在某个区域内恒有f'（x）=0，则f（x）为常数。

例2：确定函数f（x）=x■-■x■-2x+5的单调递增、递减区间。

解：f'（x）=3x■-x-2令f'（x）>0，得x<-■或x>1，

令f'（x）<0，得（-■，1）。所以函数在（-∞，-■），（1，+∞）上单调递增，在（-■，1）上单调递减。

三、求函数的极值（最值）

分析：求可导函数y=f（x）的极值的步骤如下：（1）求导数f'（x）；（2）求方程f'（x）=0的根；（3）检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。

例3：求y=x（1-x）■的极值。

解：y'=（1-x）■+x·3（1-x）■（-1）=（1-x）■（1-4x）

令y'=0，即（1-x）■（1-4x）=0得x■=1，x■=■因为在x■=1的左右均有y'<0所以x■=1不是函数y=x（1-x）■的极值点。

当x0，当x>■时y'<0

故x■=■是函数的极小值点，此时极小值为■。

注：（1）导数为0的点不一定是极值点，例如，函数f（x）=x■，在x=0点处的导数为0，但它不是极值点。

（2）极值与最值不是一个概念。求连续函数f（x）在区间[a，b]上的最值，可先求f（x）在（a，b）内的极值，然后将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四、证明不等式

分析：我们知道，函数思想是证明不等式的重要方法，即利用函数的单调性或最值可证不等式，而判断函数的单调性或最值可以利用导数。

例4：已知m，n是正整数，且1（1+n）■。

证明：所证不等式两边去自然对数，等价于n ln（1+m）>m ln（1+n）即■>■。令f（x）=■再考查f（x）的单调性。

f'（x）=■当x≥2时，■<1，ln（1+x）>1。则f'（x）<0，

函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，而2≤m

所以■>■，即（1+m）■>（1+n）■。

注：本题是2001年全国高考题，若用二项式定理结合排列组合知识解决较难，若构造函数利用其单调性证明，思路简捷，方法更胜一筹。

五、证明恒等式

分析：一般地，若函数f（x）在某个区间上可导，且对于该区间上的任意x，都有f'（x）=0，则有f（x）=C（其中C为常数）

例5：求证1-cosx=2sin■■

证明：设函数f（x）=1-cosx-2sin■■。

则f' （x）=sinx-4sin■cos■·■=sinx-sinx=0。所以f（x）=C（其中C为常数），取x=0有f（0）=1-cos0-2sin■0=0。所以C=0，即f（0）=0。所以1-cosx=2sin■■。

注：當然，导数还可应用于其它方面，如研究函数的凹凸性等，这里由于篇幅所限，不再一一列举了。