“反例教学”在高等数学教学中的应用探究

朱丽娜

【摘要】反例教学是高等数学中较为常见的一种教学模式，它需要正面的说明解释，还需要从反面对比考证。恰当地运用反例教学，可以锻炼和培养的学生的感知、认知以及创新能力，有利于加深学生对基本概念的理解，能够及时发现并有效地纠正习题中的错误，同时开拓学生的思维，培养学生的思维创新能力，引导学生多方面、多角度地思索问题，有助于提高教学效率和教学质量。

【关键词】高等数学 反例教学 应用

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）17-0145-02

高等数学，在高校中是一门要求逻辑和思维能力非常强的学科，在高数教学中学生可以培养和锻炼自身的抽象和思维能力，充分调动自身的空间思维能力和空间想象能力，学生如果掌握其高数学习的能力，会收到事半功倍的效果。因此，为了能让学生掌握和了解高数学习方法，可采用反例教学来引导和启发学生学习高数，让学生能够具备解决问题的能力，有助于他们克服思维定式，拓宽思路，培养思维的严密性，养成良好的思维能力，全面提升学生的数学素养。

一、反例教学的内涵

数学是由两个大类构成的：证明和反例。证明是我们在教学中经常使用的方法，而反例指的是，在具体的数学教学过程中，为加深学生的记忆，将比较难以理解的问题简单化，教师用表面上看起来似乎是正确的，但其实是完全错误的答案来设置“陷阱”，待学生按照预期跳入陷阱后，教师再根据学生所犯的错误给出正确的解答，引导学生得出的正确的答案，这就是反例教学方法。学生在这一反向思维的过程中，不但能够准确地掌握所要学习的数学知识，又能锻炼自己的逻辑思维能力。

二、反例教学在高等数学教学中的重要性

首先，有利于学生深化理解基本概念并掌握基本定理。反例教学有利于学生认识概念的本质，深化理解基本概念的真正内涵。在提出新概念时教师通过几个合理的具体例子，将高数概念具体化，再适当举几个反例，从反面理解概念能深化学生对概念的掌握，教学效果会大大提升。其次，有利于学生对复杂知识的理解更加深刻清晰。反例教学法是教师为加深学生记忆，将比较难以理解的问题简单化，针对易出现学习困难或理解错误的知识点上有意设计答案，从表面看起来似乎是正确的，但其实是完全错误的答案来设置“陷阱”，学生犯错之后，教师再根据学生所犯错误给出正确的解答，引导学生得出正确答案，避免了学生再次犯错，使学生对所学知识的理解更加深刻、清晰。再次，有利于开拓学生思维，培养学生创新能力。在高数教学中应用反例教学法，有助于开拓培养学生严谨科学的思维，培养学生的创新能力。鉴于构造反例的情形多种多样，能从多角度和多途径举出反例，不仅能培养学生不断探索、勤于进取的良好学习习惯，也能提高学生的数学素养和不断创新的能力。最后，反例教学的运用能充分激发学生学习数学的信心。教学中通过设置反例，能增加很多教学的乐趣，调动学生的积极性，提高学生的兴趣，坚定学好数学的决心。使学生能够透过现象看到事物的本质，训练了学生敢于质疑，进而培养学生勇于探索，勇往直前的良好品质。

三、“反例教学”在高等数学教学中的应用

1）恰当地构造反例，加深理解概念。理解概念是学生学好高数的基础，也是培养其能力的先决条件。通过反例，从反面消除一些容易出现的模糊认识，严格区分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本质。在高数极限概念教学中恰当地构造反例，会得到事半功倍的效果。在极限概念学习中学生认为：①有界函数的极限一定存在；②若存在，但不存在，那么不存在。上述两种想法都是错误的.对于①构造反例。因为当时，不能无限接近于一个确定的常数，所以，极限不存在，对于②构造反例。

2）正确地应用反例，深化理解定理。在高等数学的定理教学中，反例具有和证明一样重要的作用。一系列严谨的证明可以确定某一个命题的正确性，然而，一个合适的反例也可以证明某个命题的正确性，准确地运用反例，可以全面地掌握定理的相关条件和正确结论。例如，洛必达法则：设函数f（x）和F（x）满足下列条件：⑴x→a时，limf（x）=0，limF（x）=0；⑵在点a的某去心邻域内f（x）与F（x）都可导，且F（x）的导数不等于0；⑶x→a时，lim（f'（x）/F'（x））存在或为无穷大，则x→a时，lim（f（x）/F（x））=lim（f'（x）/F'（x））。举个有符合洛必达法则而不能使用洛必达的反例，例如lim[x―>

∞]√（1+x2）/x=1，但是用洛必达法则求不出来。

3）合理地利用反例，纠正错误命题。在高等数学的解题过程中，很难通过正面的思路将个别失误检查出来，但是，如果举个反例，就能将错误直观地反映出来，从而得到正确的答案。例如，在学习“可导必定连续”这一性质时，学生可能会错误地认为“偏导数存在也必定连续”。我们可以举反例来证明。如二元函数f（x，y）=xy/x2+y2x，y≠0=0x，y=0在（0，0）的偏导存在，但是不连续。

4）有效利用反例，纠正习题中的错误。学习高数需要解题，在解题中要鼓励学生从多方面思考多角度探索，挖掘新思路鼓励学生去联想发挥，改变条件对习题进行拓宽。有些失误难以通过正面途径检查出来，而举反例就能在较短时间内，较直观地反映出错误所在，而且由此能产生正确的途径。

5）学会创新，指导学生构造反例。俗话说：“授之以鱼不如授之以渔。”在高数反例教学中亦是如此。因此，我们不仅让学生学会反例法，更要培养他们的反例思想，指导他们学会自己构造反例。例如，在学习函数极限的四则运算后，让学生自己构造相关的反例来证明定理的正确性并互相交流分享。

四、高等数学中反例教学实例分析

1）反例教学在学习高等数学抽象概念的实例分析。例如，在學习“若函数在某点的左右导数均存在，那么函数在该点的导数一定存在；若函数在某点导数不存在，那么函数在该点不连续”的概念时，可以构建反例如下：

假设函数f（x）=|x|在x=0的左右均存在，但在该点的导数则不存在，在该点函数不连续的左右侧导数均存在而且相等。由此可知函数f（x）=|x|在x=0导数不存在，不过在该点上连续。由此可帮助学生在导数定义、左右导数定义及可导性与连续性的关系等知识上加深理解，准确把握高数的抽象基础概念知识。

2）反例教学能培养学生创新能力的实例分析。例如在学习罗尔定理时，教师可通过构建反例“分别举例说明罗尔定理中函数的连续条件、可导性条件及将闭区间上的连续更改为开区间上连续、可导等情况下，结论是否成立”，以此来强调罗尔定理的三个条件缺一不可。通过学生自主寻找答案，举例说明，让学生充分发挥想象和联想，对问题进行开放性思考，从而锻炼学生的创新能力。

五、在高等数学教学中实施反例教学的注意事项

1）在教学中引入恰当的反例。教师在选择反例教学的过程中，不但反例的选择要与教学的内容紧密结合，还要充分考虑学生的生理、心理特征、年龄、接受水平及他们目前掌握知识的结构特点，充分考虑到所选择反例的可行性和合理性。同时要特别注意的是，教学反例的引入、讲解不能一蹴而就，必须根据学生的认知水平和所掌握的知识以及能力水平逐渐深入地进行，要由浅入深，由易到难，将一个复杂的问题分解为若干个小的问题，逐级逐步地对学生进行引导和教学。

2）反例的设置要具有针对性。反例教学要想达到预期的目标和效果，必须要具有针对性。反例的准确设置，需要教师具有准确判断的能力，教师要对教学的诸多因素进行科学的分析和判断，在全方位的权衡之后，要对那些学生必须掌握的、但是在实际操作中又容易忽视掉的知识点进行有针对性的设置。可以说，反例设置的质量如何将直接影响学生对相关知识点的掌握和运用。

3）学生针对反例进行讨论、探究。这一步是教师全面了解学生的关键，也是课堂教学中以生为本教育理念的重要体现，同时也是教师恰当对学生进行点拨、启发的前提和依据。通过学生的讨论和探究，解决问题答案的原因，从而加深对这类知识点的理解，教师根据学生发言情况适当进行点拨、启发，并尽可能由学生自己得出正确结论。

4）师生共同探究反例的正确答案。教学中运用反例的目的不是让学生犯错，而是帮助学生形成正确的认识和理解。因此，教师在学生落入陷阱，得出错误答案之时要及时帮学生认识到自己的错误点，引导学生具体分析出现错误的原因，并对学生所产生的错误进行归纳总结，帮助学生清楚地认识到整个知识的演进过程。这对于理清学生的思路，引导学生形成深刻的正确认识，培养学生严密的思维方式，都有十分重要的作用。

5）教师还要积极引导学生构建反例。教师在进行数学教学时不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导學生构建反例。教学中可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例。从实质上来说，这其实是为学生创设了一种积极探索，不断创新的良好环境，因此，我们可以说，构建反例的过程其实也是培养学生思维方式的过程。

参考文献：

[1]薛迎杰.浅谈反例在高等数学教学中的作用[J].数学研究通讯，2016.12.

[2]蔡桂荣.高等数学中反例的若干构造方法[J].高等数学研究，2017.06.

[3]刘洋.谈反例教学在高等数学教学中的应用[J].高等数学研究，10.7.09.