单顶点多折痕折纸形式启发的空间折展机构

2018-08-10广晨汉

宇航学报 2018年7期

广晨汉，刘迎，杨洋

(北京航空航天大学机械设计及自动化系，北京 100191)

0 引言

受运载火箭整流罩尺寸的限制，卫星的一些功能部件(如：天线等)需在卫星发射时折叠收纳待卫星入轨后展开。折叠收纳及展开的动作主要依靠折展机构实现。现阶段对折展机构的研究主要集中在大口径空间构架式可展天线机构上[1-5]，其主要思路是通过对已有的平面或空间机构单元进行组合而构成大型可展机构，展开金属网面天线。而近年来，适用于小卫星的固体反射面天线机构的研究则较少[5-6]。

折纸是一种将二维平面折成三维结构的艺术形式，折纸的变形特征对折展机构的研究提供了一种新的思路。已有的基于折纸的空间折展机构的研究主要集中在空间可展天线及空间可展太阳能电池板上。文献[7-8]介绍了一种基于flasher折纸形式的可展太阳能阵列。文献[9]介绍了一种将flasher折纸形式剪切后衍生出的，可用作可展太阳能电池板的可展阵列。文献[10]展示了一种通过去除flasher折纸形式中的一组或两组中心对称单元，使其在处于展开状态时形成近似抛物面的可展抛物面天线。基于flasher折纸形式，文献[11]展示了一种利用折叠时储存的材料变形能进行展开的薄壳可展天线。

上述文献介绍的折展机构几乎都需要借助额外的单自由度机构辅助展开，这对于较大的空间设备是可以接受的。但是对于结构需要精简的小卫星，需要避免添加额外机构。

文献[12-13]介绍了一种由Flasher折纸形式启发的多瓣式可展固体反射面天线。其不需要额外的驱动机构，但所需的驱动器数量较多，且结构较为复杂，故不适用于小卫星。文献[14]展示了一种单顶点多折痕折纸形式启发的可将平面结构折叠的空间折展机构，可用于可展太阳能电池板。此机构结构及构型简单，只需一个驱动器就可完成自身展开，因此非常适用于小卫星。

进一步研究发现，文献[14]中论述的机构，不仅能将平面结构折叠，还能将可包络回转曲面的锥形结构折叠。但是，文献[14]中仅介绍了可将平面结构折叠的可展机构扇页部分在折叠与展开状态下的几何设计模型，并未提出可将锥形结构进行折叠的可展机构扇页部分在折叠与展开状态下的几何设计模型。

针对上述问题，对受单顶点多折痕折纸形式启发的空间折展机构的构型进行介绍，并展示了此类机构也可将包络回转曲面的锥形结构进行折展。然后，本文提出了可将锥形结构进行折叠的可展机构扇页部分在折叠与展开状态下的几何设计模型。最后，对此几何设计模型及平面折叠几何设计模型进行了近似简化，使其可以便捷地验证机构的几何设计是否满足约束条件，并通过算例计算进行了验证。

1 机构构型

单顶点多折痕折纸形式是一种常见的折纸形式，如图1所示。图1中实线折痕为峰折痕，虚线折痕代表谷折痕，两种折痕代表着不同(相反)的折叠方向。

若将图1中的每相邻两条折痕所夹的纸认为刚体，将折痕认为转动副，则图中的机构本质上为球面机构，自由度并不为1。同时，图1中纸的厚度被认为是0，但在实际中，并不存在厚度为0的物体。

因此，对纸增添厚度并对机构进行调整，得到了如图2的折展机构。此机构的自由度为1。文献[14]运用旋量的方法[15-16]对此机构的单自由度特性进行了证明。

每个机构单元由5个构件组成，如图2所示。构件1及构件2为圆心角(圆心角α=π/n)相等的两片扇页，这两个构件铰接。构件1与构件3之间通过圆柱副连接，构件2与构件4之间亦通过圆柱副连接。每个扇页上的铰链轴线与圆柱副轴线间的关系为空间互异。构件3与构件4都铰接在构件5(基座)上。此机构单元的自由度为1，因此此机构单元圆周阵列构成的整个机构(共有2n片扇页)的自由度亦为1。

如图3所示，若保证一份扇页上的圆柱副的轴线与铰链的轴线成异面直线的关系，将平面扇页(完整圆平板的1/2n等份)替换为圆锥扇页(完整圆锥板的1/2n等份)，甚至将圆锥板的上表面加工为回转曲面(例如可展天线中常用的抛物面)，都能按照此机构的方式展开，如图4所示。图4中，机构扇页的上表面都被处理为抛物面，展开后可用作小卫星的折展天线。

2 几何模型

机构处于折叠状态与展开状态的几何模型是判断机构能否满足设计要求的依据，同时也是计算折展比的基础。为此对机构处于折叠状态与展开状态的几何模型进行建模。为快速、便捷地判断设计是否满足约束条件，将几何模型进行近似简化。

本文中只考虑扇页部分在折叠时与未折叠时的几何模型。其他构件的几何设计可在扇页部分几何模型确定后进行。

2.1 无锥度模型

折展机构展开状态的折展机构的大径为2R，小径为2r，展开状态的高度与扇页的厚度相等，即Hunfold=h。以n=10为例，如图5。

折叠后，内孔为截面为正n边形的棱柱，如图6。正n边形的边长为l=2h。

折叠后的机构的中心孔内切圆半径为：

(1)

机构外接圆半径为：

(2)

机构的整体高度为：

Hfold=R-cosα

(3)

将式(2)对n求导数，可得：

(4)

式(4)的形式较为复杂，故对其进行近似简化。在实际设计时，一般R>>h，即：

rout=rin+Rsinα

(5)

将式(5)对n求导数，可得：

(6)

2.2 有锥度模型

展开状态的折展机构的大径为2R，小径为2r，展开状态的高度为Hunfold，板的厚度为h，锥角为π-2β。以此为例，各块之间铰接，组成一个封闭环，如图7。

如图8所示γ为机构展开时其中一份的面ABCD(面2)与侧面CDFE(面3)所夹的二面角。

可求得：

(7)

其中，面ABCD(面2)与机构俯视平面xOz(面1)所夹的二面角为θ，即：

(8)

折叠后，内孔截面为2n边形的棱柱，如图9。2n边形的边长为h。

折叠后的机构的中心孔内切圆半径为：

(9)

所以，折叠后的机构的中心孔内切圆半径可近似为：

(10)

机构外接圆直径为：

(11)

或

(12)

机构的整体高度为：

(13)

实际设计中，一般R>>h、τ≈α且γ≈90°，则有：

(14)

(15)

Hfold=secβ(R-rcosα)

(16)

将式(15)对n求导数，可得：

(17)

2.3 近似几何模型

比较式(17)与式(6)，发现只相差secβ。当β=0°时，secβ=1，可将式(6)与式(17)统一为：

(18)

(19)

可求得在一定条件下使rout最小的n。而n为不小于3的整数，故需求得n(在实际设计时，机构的扇页数尽量少)。这样使机构外接圆直径rout最小的nmin为：

nmin=n

(20)

同时发现，式(16)与式(3)，式(15)与(5)也只相差secβ，这样无锥度与有锥度的折展机构的设计方法可统一，结果见表1。

表1 近似几何模型Table 1 Approximate geometry model

3 算例与误差校验

本章中列出一组设计尺寸，如表2所示，以展示rout、rin及Hout的随n的变化趋势，以及近似模型与解析模型的误差。

表2 设计尺寸Table 2 Designing dimensions

3.1 无锥度模型的尺寸变化趋势及误差

将表2中的数据带入式(1)、式(5)及式(3)中，并通过式(18)求得nmin，结果如图10及图11。

将式(2)与式(5)作差，并取绝对值，绘制出近似后的折叠状态外接圆半径rout与理论的折叠状态外接圆半径rout的误差变化曲线，如图12。可以发现，在近似条件下，误差很小，可以忽略。

从图10可以看出rout的变化曲线实际上是内凹的，存在使rout最小的点。同时，在接近最小值点的曲线段上的斜率值较小且变化平缓，在实际设计时，在rout满足要求的情况下，可以尽量选更小的n值，使扇页数尽量少。

图11展示出与直观理解不同的现象，rin不是固定的，会随着n的增大而增大。这意味着折叠后的机构的中心孔可以被利用，容纳某些功能结构，如：空间可展天线的次镜等。

在Rh(约R>10h)时，如图12所示，近似模型对rout引入的误差相对于rout非常小，可以忽略不计。所以在实际设计时，可以直接采用近似模型来进行设计。

3.2 有锥度模型的尺寸变化趋势及误差

将表2中的数据代入式(10)、式(12)及式(13)中，并通过式(18)求得nmin，结果如图13及图14。

如图13所示，有锥度模型的rout的变化趋势一致，存在使rout最小的点。在实际设计时，选取n的思路与无锥度模型的一致。

如图14所示有锥度模型的rin的变化趋势与无锥度模型的一致。

将式(10)与式(14)作差，式(12)与式(15)作差，式(13)与式(16)作差并取绝对值，绘制出近似后的rout与理论rout的误差变化曲线，近似后的rin与理论的rin的误差变化曲线，近似后的Hfold与理论的Hfold的误差变化曲线，如图15。可以发现，在近似条件下，rout误差及的rin误差很小，可以忽略。而rout的误差在n=18时大约为6.7%，并且近似值大于非近似模型值。意味着在Rh(约R>10h)时，近似几何模型可以快速判断机构的几何尺寸是否满足设计要求。