探析高中数学教学中数形结合方法的运用

任俊

摘 要：相比初中数学来说，高中数学的教学内容比较抽象，难以理解，而数形结合思想的渗透及其方法的运用，可以帮助学生形象化地理解抽象的数学知识。所以作为数学教师，我们应该结合三角函数、直线与圆锥曲线、向量、解方程、求函数值域或最值的教学，探究数形结合方法的运用。

关键词：高中；数学教学；数形结合

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）24-0081-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.24.050

初中数学内容比较具体，以模仿练习为主。学生在几年的学习中，已经形成了一定的思维模式。但高中数学内容比较抽象，更加注重对于知识的理解与运用，这对于刚升入高中的学生来说，具有很大的挑战。针对这一问题，教师应该运用数形结合方法，帮助学生完成这一认知规律的过渡。实践证明，这一方法在高中数学教学中也具有很多的优势。

一、三角函数教学中数形结合方法的运用

1.三角函数定义。在求正弦、余弦、正切值的时候，我们会发现学生解决问题的办法有很多种，但基本上都是采用定义来求解。关于三角函数的问题，学生在初中阶段就已经学习过了，所以高中生对此并不陌生。在高中数学教学中，三角函数仍为教学的重点，其定义的解读就需要采用数形结合的方法。通过作图，学生凭借观察图，便能够直观地找出问题的答案，以此来增强对于概念的理解与形象记忆。

2.同角三角函数关系。高中数学中关于同角三角函数关系的推导有两种方法。一种是通过直接的代数运算，利用同角三角函数基本关系，根据已知条件，列方程组来推导。这种方法运算过程比较复杂，很容易在计算过程中出错。另一种是通过条件，运用图像和定义，学生就可以直观地表示出来。显然，第二种方法比较便捷、有效。

3.三角函数性质。在求解三角函数角的集合和求解角中，我们也能够采用数形结合的办法，其中比较常用的便是将单位圆、正余弦的图像与代数式相结合的方法。而且这两种方法也可以启发学生开拓思维，一题多解，将所学知识活学活用，轻松解决数学难题。同样，在遇到比较大小问题时，我们也可以将所要比较的三角函数值通过图像表示出来。例如，在比较sin25°和cos25°的大小时，我们可以有几种方法：一是通过单调区间进行对应角度的大小比较；二是运用数形结合思想，分别作出正弦、余弦图像，然后通过对比函数值所在位置就可以明确它们的大小；三是运用单位圆图像，进行函数值的大小比较。显然，第二种和第三种方法都运用了数形结合的思想，都比第一种方法要简单，而且第一种方法不适用于解决不是同一单调区间的题目。

二、直线与圆锥曲线教学中数形结合方法的应用

（一）直线与圆

1.刻画直线倾斜程度。关于这个问题，我们可以从数、形两个角度来刻画，这样比较形象具体、一目了然，也方便学生理解。

2.平面内两条直线位置关系的判定。我们主要通过画图或利用直线方程两种方法来判定平面内两条直线之间的位置关系。前者比较形象直观，比较受学生喜爱。当然，为了确保结果的准确性，我们可以采用算式进行检验，充分发挥数形两种方法的互补作用。

3.对称问题。我们解决直线关于原点对称问题的时候，通常采用三种方法——截距式法、对称点法、点到直线距离的方法。相比较来说，前两种方法更为简单，学生可以在图上找到对称点，然后进行验证即可。

4.求圆的方程。这类问题的解决，我们通常采用待定系数法、数形结合法，显然前者需要解方程组，操作起来会比较麻烦，容易出错，而后者通过图像，简洁明了。

（二）圆锥曲线——以圆锥曲线定义为例

在教学过程中，我们通过数形结合方法对曲线进行定义，可以让学生更为直观地认识曲线，其中椭圆几何特征还是比较明显的。通过观察图形，学生可以很快地找到题目中隐藏的已知条件，将全部已知条件代入函数图像中，便很容易解出问题的答案。再者，双曲线与椭圆类似，图形也可以为我们提供一些已知条件，方便我们进一步运算。

三、向量教学中数形结合方法的应用

1.用向量解决平面几何教学。几何中关于直线平行、垂直的问题可以借助向量来解决。我们可以将已知条件在图上以坐标的形式呈现出来，再将未知量在图中想办法表示出来，进而通过方程组来得出我们想要的结果。

2.用向量解决立体几何教学。与平面几何一样，立体几何中关于垂直、平行、夹角与距离等问题的解答也可以借助向量来完成。数形结合方法的运用，将向量中的分解法、坐标法等迁移到立体几何中。我们可以在图中标出已知各点，然后通过向量的方法求解即可。

四、解方程、求函数值域或最值教学中数形结合方法的应用

1.解方程教学。方程问题的解答，我们可以引导学生构建函数，将已知的函数通过图像的形式展现出来，然后再进行求解。值得注意的是，教师一定要提醒学生认真仔细，避免因为图绘制错误而产生错误的结果。当然，我们也不能完全依赖数形结合的方法，在具体操作中也应该结合代数式，选用的基本原则便是方便、快捷、准确。

2.求函数值域或最值教学。最值问题运用数形结合的方法最为方便，我们绘制的图像的最高点或者最低点便是我们要求的坐标。这种方法使我们一目了然地便可以知道我们要求得的坐标所在的位置，也可以作为我们验证结果正确与否的参照之一。

数形结合对于高中数学三角函数、直线与圆锥曲线、向量、解方程、求函数值域或最值教学的作用已经得到了教师与学生的普遍认可，可以帮助学生理解抽象的教学内容，对于课堂教学效率的提升有显著效果。

参考文献：

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[4] 张艺璇.关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略[J].亚太教育，2015（34）.