让规律可视 促思维拔节

戚洪祥 张秀花

一、教学背景

生活背景：4月23日——世界读书日，应邀参加江苏省师培中心举办的“蓝天杯”优课送培活动。在全民阅读的时代要求下，各级各类学校都广泛开展阅读活动，而数学阅读对于许多学校而言，仍是学校课外阅读体系中的一个短板。在这样的特殊时间点，选择《神奇的数》作为载体，将课外阅读与课堂教学进行有机融合，激发学生的数学阅读兴趣。

知识背景：“142857”“495”这样的数，是许多数学课外读物的常客。在苏教版教材四年级下册练习七的第11、12题，编者通过有限的篇幅让学生初步认识了“142857”“495”这两个数。本节课的教学，以课外读物内容为切入口，以乘法计算为知识基础，借助计算器简化计算便于发现规律，深入感受数学的神奇，让规律教学体现其特有的育人价值。

二、教学内容

《神奇的数》（自编内容，适用于苏教版四、五年级）

三、教学目标

1.学生能正确使用计算器进行乘法、加法的运算，在此过程中独立观察、深入探究、发现规律。

2.使学生经历观察比较、探究分析、归纳总结、质疑反思等思维活动，初步形成探索数学规律、发现数学结论的学习能力。

3.在独立思考和合作交流中培养学生观察、归纳、概括、推理的数学能力，培养学生学习数学的兴趣和探索意识。

4.使学生在探索过程中，感受数学知识的奥秘和魅力，激发学生的阅读兴趣和求知欲。

四、教学准备

教师：多媒体课件、自主学习单、教具小纸条。

学生：计算器一只。

五、课前谈话实录

师：知道今天是什么日子吗？

生：世界读书日。

师：我们先来聊一聊关于读书的事。你喜欢读书吗？说出一本你最喜欢读的书？

生1：我最喜欢读《狼王梦》。

生2：我最喜欢读《水浒传》。

…………

师：看来你们都是爱读书的孩子。我们的数学也有许多适合阅读的课外书，你们读过吗？

生1：我读过《马小跳玩数学》。

生2：我读过《数学王国奇遇记》。

…………

师：原来你们读过这么多的数学课外书呀！喜欢阅读是一个好习惯，打开一本书，就是打开了一扇了解世界的窗子。

【设计意图：从“世界读书日”到“课外阅读”，再到“数学课外阅读”，从学生已有的生活背景出发，构建了和谐的师生关系，为引入本节课的学习内容打下铺垫。】

六、课堂教学实录

1.激趣导入，引发问题

师：课前我们聊到了课外书。今天的数学课就从一本书开始，这本书的名字叫《课本上学不到的数学》（出示PPT）。在这本书中有一个内容叫“神奇的数”，今天这节课戚老师就和你们一起来研究，神奇的数。（板书课题：神奇的数） “神奇的数”中有一句话，我特别感兴趣（出示PPT），谁来读一读这句话。

生：“142857”是一个十分神奇的数。用它分别乘1、2、3、4、5、6，你会有意想不到的发现！

师：她在读的时候，有的同学在数，这个数的数位特别多，我们还没有学过多位数的读法，所以不会读。今天这节课，我们约定一下，按照顺序一个一个数字把它读出来就可以了，我们就把它读作：1、4、2、8、5、7。（师示范逐个读出）

师：下面请每位同学把这句话默读一遍。

生默读。

师：读完了这句话，你现在头脑里面有没有什么问题呢？

生：怎么只乘到6，没有7呢？

师：是呀！你还有什么问题？

生：算完之后，会有什么意想不到的发现呢？

师：是呀，这个问题问得可真好。你还有什么问题吗？

生：“142857”哪里神奇呢？

【设计意图：引用课外读物中的一段原文，利用“神奇”“意想不到”这样的词语，吸引学生的眼球，学生的求知欲瞬间被激发。同时约定本节课中“142857”的读法，帮助学生越过识读障碍，为后面探索规律做好准备。】

2.嘗试探究，感知规律

师：同学们的问题真多，数学学习就应该从一个又一个的问题开始。下面我们就带着这些问题，开始我们的探究之旅吧！（出示PPT）先看探究活动的要求，请你来把活动要求读一遍。

生读活动要求。

师：三个要求听明白了吗？下面请大家拿出“自主学习单”，按要求开始活动吧！

学生自主探究，师巡视并参与学生的交流。

师：我请陈奕文同学作为小老师，带着学习单，与大家分享他的学习收获。

陈奕文同学：我计算的得数分别是：142857，285714，428571，571428，714285，857142。你们的结果与我一样吗？

生：一样的。

陈奕文同学：我将这些得数与原来的“142857”进行比较，发现它们都是由6个数字组成的。

师：陈奕文同学的发现，你们听明白了吗？谁来说得更具体一点。

生：每个得数中都有1、4、2、8、5、7这六个数，只是顺序不同。

师：是吗？我们在“乘5”的得数中找一找，有没有1、4、2、8、5、7这6个数。

师生边说边指。

【设计意图：学生在独立探究过程中，不断发出惊叹之声，他们每算出一个得数就会被“142857”冲击一次，规律的震撼之感慢慢积淀。从学生不断地急于表达自己发现的情景来看，魔术般神奇的规律呼之欲出。】

3.再次探究，规律可视

师：既然得数中都有这六个数字，是不是随便将这六个数字写出来就一定是某一道乘法的积呢？

生：不一定。

师：这些得数与原来的“142857”之间有什么关系呢？如果老师把这六个答案全去掉，不用计算器，让你直接写得数，你还能写出来吗？（电脑去掉算式的得数）

生犹豫不决，有些说能，有些说不能。

生：乘1，还是142857。（电脑出示）

师：这个好像大家都会喔！其他的算式怎么办呢？

生：如果不用計算器，我就列竖式一位一位地乘。

师：列竖式是可以算出得数。如果要你像口算一样，直接写出得数，你觉得可能吗？

生不敢回应，有些同学在摇头。

师：有人总结出了直接写得数的第一种方法。请看（PPT逐句出示）：写下142857，找到得数的个位，前面所有数整体移动到后面。

师：你能看明白吗？不着急，继续看电脑的演示。

电脑动画演示，师配合讲解。

师：先写下原来的142857，然后找到得数的个位。以“乘2”为例，你知道它的个位是几吗？

生：是4，因为2乘7得14，所以个位是4。

师：这里的4就是个位，然后将4与前面的所有数整体移动到后面，这样得到的285714就是这道算式的答案了。

师：你看明白了吗？请你把这句话再默读一遍，边读边体会它的方法。

生边读边想。

师：还有第二种方法，也能写出得数（PPT逐句出示）：写两次142857，找到得数的个位，确定得数。

电脑动画演示，师配合讲解。

师：先写两次142857，然后找到得数的个位，我们还以“乘2”为例，得数的个位应该是4。现在有几个4？

生：两个。

师：我们找到了两个4，只要从第一个4后面划出六位数，就是得数了。

师：你现在学会了几种方法？

生：两种。

师：还有第三种想不想学？

生：想。

师边说边演示：将1、4、2、8、5、7写在一个纸条上，然后将它围成一个圈，找到得数的个位4，然后在4的后面撕开，现在请你来读一下纸条上的数。

生：285714。（啊！其余学生异口同声）

师：是不是很神奇。这种方法需要我们提前准备好一些纸条给大家，所以我们常用前面的两种方法。现在想不想不用计算器，自己来试一试？

生：想！

师：很好，孩子们！老师已经帮你在练习纸上列出了“142857”和“142857142857”，请你在上面移一移，划一划，直接写出乘3、乘4、乘5、乘6的得数吧。

生尝试自己动手操作。

师：好，有的孩子已经举手了，说明已经写好了。现在请把你的方法和同桌分享一下。

生交流分享学习体会。

【设计意图：根据原数“142857”和另一个乘数来推算得数，这一过程，让学生初步感知的“都是这6个数”的规律变得更加理性。利用教具、多媒体动画将三种不同的方法呈现，让知识的规律可视，让学生的思维可视，给学生的思维拔节提供脚手架。】

4.寻根溯源，指导学法

师：我们刚刚学了一个本领，直接口算写出得数。下面请大家继续观察这组算式，我记得刚开始的时候，这个孩子提了一个问题，大家还记得吗？请你重复一下你的问题。

生：为什么只能乘1、2、3、4、5、6，不能继续往下乘？

师：假如继续往下乘，会怎么样呢？不忙算，先猜一猜。

生：肯定还是由这6个数字组成的。

生：不对，我口算了一下，末尾应该是9。

师：大家出现了分歧，口说无凭，用计算器算算看就知道了。

伴随着不断的“啊”声，学生报出答案：999999。

师：你刚刚为什么这么惊讶呢？

生：因为全是9。

师：原来乘7的时候，不再是原来的六个数字了，而是一下子来了六个9。其实“142857”和9的关系非常密切。请你继续算。（电脑出示：14+28+57=）

学生用计算器计算并报得数为：99。

师：再算。（电脑出示：142+857=）

学生边算边惊讶：999。

师：有的孩子已经忍不住了，觉得真神奇啊，对不对？面对这么神奇的数，这时你头脑有没有新的问题呢？

生：这个神奇的数哪来的呢？

师：对呀，它是哪来的呢？你平时在学习的时候碰到这样的问题，怎么办？

生1：问老师。

生2：查资料。

生3：上网查。

师：是的，当我们碰到一些问题的时候，动手探索、寻问他人、查阅资料、上网搜索都是比较好的方法。

师：通过阅读数学课外书，戚老师知道了，原来用一道除法就可以让这个神奇的数现身。请你用计算器算一算：1÷7。

生尝试计算。

师：你在计算器的屏幕上看到142857了吗？

生：看到了。

师：在书中，老师还看到一个有关“142857”的故事呢？请听。

电脑播放动画：这组神奇的数字最发现于埃及金字塔里，埃及人用它来证明一个星期有7天。我们来看，从星期一到星期六，都是由1/4/2/8/5/7这6个数字上班，他们每天担当不同的职位。到了第7天，他们累了，于是都休息，由9/9/9/9/9/9来代班。

【设计意图：引入数学文化，让“142857”及其背后的规律披上一层神秘、有趣的色彩，激发学生阅读数学课外读物的热情。同时对遇到困难时的学习方法进行有机渗透，充分承担起数学学科的育人价值。】

5.深入探究，发散规律

师：听完了刚才的故事，现在你头脑里有没有新的问题？

生：乘8等于多少呢？

师：好，赶快乘。

生用计算器计算。

师：请你把答案报一下。

生：1142856。

师：观察这个得数，你想说什么？

生：与原来相比，少了一个7。

师：看来没有规律了，还想继续乘吗？（想）继续乘9吧！

生：1285713。

师：这次你想说什么？

生1：这次4没有了，其他的数还在。

師：你还想说什么？

生2：我发现每次都要少掉一个数。

师：是这样吗？继续乘一个。

生：1428570，这个“乘10”口算就行了。

师：你又想说什么呢？

生：他们又全出来了。

师：一会7消失，一会4没有，一会又全出来了，看来是没有规律了。不着急，请大家横过来观察，智慧的眼睛就能发现这里的奥秘。

生：我发现“142857”与“1142856”相比，原来末尾的7现在变成了6，但是最前面多了一个1，6和1加起来正好是7。

师：看来7并没有消失，而是摇身一变，变成了1和6。了不起的发现，接着他的思路看下面一个呢？

生：“285714”与“1285713”相比，4也没有消失，而是变成了1和3。

师：接着这样的思路，你能口答出 “乘11”“乘12”“乘13”和“乘14”的得数吗？试试看。

生1：因为142857×4=571428，将末尾的8分成1和7，所以142857×11=1571427。

生2：因为142857×5=714285，将末尾的5分成1和4，所以142857×12=1714274。

生3：因为142857×6=857142，将末尾的2分成1和1，所以142857×13=1857141。

生4：因为142857×7=999999，将末尾的9分成1和8，所以142857×14=1999998。

师：孩子们，你们真了不起，一会儿工夫就得到了这么多的发现。现在你头脑中有没有新的问题呢？

生：如果再向下乘又会怎么样呢？

师：是呀，这个问题我们可以课后继续去研究。

师：刚才老师和同学一起认识了一个神奇的数是（板书：142857）。在研究“142857”这个数时，我们首先从课外书中的一段话产生了问题，带着问题去思考、探索并得到结论，观察得到的结论又产生了新的问题，这是一个非常好的学习方法。

【设计意图：如果规律仅限于一个周期（1至7）以内，学生头脑中的问题得不到有效化解，规律的延展性得不到有效彰显。此时，根据学生的问题，大胆地从一个周期走出，完成第二个周期规律的探究。同时，在回顾反思的过程中，师生一起建构学习模型，让学生的学习走向深入。】

6.拓展延伸，深度体验

师：学到这里，你头脑中有没有产生新的问题呢？

生：如果用142857×142857又会怎么样呢？

师：你还沉浸在142857当中呢，这个问题，课后可以接着研究。

生：除了142857，有没有其他神奇的数了？

师：这个问题问得好，刚才的那本书中，还有一个数字黑洞呢，我们再来探究一下。

（出示PPT，生读）在1～9中，任意选择3个数字，将它们组成一个最大三位数和最小三位数，用最大三位数减去最小三位数，将得到的差的三个数字，重新组合成一个最大三位数和一个最小三位数，再相减，这样不断反复计算后，你能发现什么？

师：请大家拿出自主学习单，开始探究吧！

生自主尝试，然后同桌交流。

生1：我选的数是7、8、9，算了之后，得到的差都是495。

生2：我选的数是1、3、5，最后也得到了495。

师：大家都得到了495吗？

生：是的。

师：回头想一想这个探究活动，再看看495，你又想问什么呢？

生1：如果不是取三个数，取四个数会出现什么结果？

生2：取出的三个数中如果有相同的，会怎么样？

生3：为什么这里的数没有0？

师：是啊，当我们面对“495”时，可以产生许多的问题。希望同学们把这样的问题意识、质疑精神用在平时的学习中，你会发现，不但有些数是神奇的，其实整个数学都是神奇的。

【设计意图：一节课只研究“142857”，容易让学生形成思维定式，产生负迁移，不能有效彰显趣味数学的魅力。再次引入课外读物，设计探究活动，引入“数字黑洞495”，将学生的观察视野从“142857”，引到“495”，再引向更加广阔的数学天地。】

七、专家评析

《神奇的数》一课是戚老师基于苏教版小学数学教材自编的一个教学内容，这是一节规律探究课，一节趣味数学课，更是一节指引学生学好数学的学法指导课。

1.创设大情境，让探究活动高质高效

“数学来源于生活”，我们应该选择与学生身心发展相适应、易于学生亲身经历去解决的问题情境，营造整节课的大情境。本节课中，戚老师创设了以“世界读书日”“数学课外读物”为核心的大情境，从包含“神奇”“意想不到”等词语的一段话入手，激发学生兴趣，引发学生开展探究活动的原动力。从数学读物中的“趣味故事”“数字黑洞”入手，引入数学文化，引出第二次探究活动。两次探究活动创设自然，高质高效，学生乐在其中。

2.引思大问题，让深度学习真实发生

从学生思维发展来看，一节好课的标准应该是：是否让学生的思维动起来，是否让深度学习真实发生。纵观平时的课堂，师生对话多以低效的一问一答、半问半答式呈现。在这节课中，戚老师的提问充分体现启思、引思的特点。他多次提出“你头脑中有没有什么问题”，以此作为本课的大问题，不断将学生的探究活动、思维体验推向深入，不断揭示规律的本质。整节课以问题驱动学生思考，并根据学生的提问辅以可视化媒介，助推学生思维拔节，让学生的深度学习真实发生。

3.构建大格局，让素养培育落地生根

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出发展学生的“数学素养”，数学素养是核心素养在数学学科的具体化、实践化表述。本课的教学中，戚老师与学生一起走出“只知规律是什么”的樊笼，通过规律的自主探究，培养学生的问题意识，养成有序思考的习惯，让教学走向“能力培养”“学法创新”的境界。师生一起回顾学习过程，提炼出“问题→探究→结论→新问题→……”的学习模型，这种学习模型与育人的大格局相一致，是课堂教学中培育核心素养的有效路径。

【作者简介】

戚洪祥，教育硕士，江苏省首批教学名师，江苏省“333”工程高层次人才培养对象，江苏省中青年学术技术带头人，江苏省优秀教育工作者。教育部“西部支持计划”特聘授课教师，曾多次应邀到新疆、甘肃、青海、宁夏等地送教送学。曾获全国、省、市课堂教学比赛一等奖，出版个人专著《小学数学思想方法简论》，研究成果获省、市基础教育成果奖一等奖，目前主持两个省级重点资助课题的研究工作。

张秀花，江苏省特级教师，江苏省人民政府教育督导团专家组成员，省小数会常务理事，扬州市教科院小数教研员。荣获全国教科研先进个人，省先进教育工作者，省“333”高层次人才培养对象，江苏省教师资格证书考试省级考官，扬州市“领雁工程”第一层次培养对象，多次应邀到贵州、青海、山西、湖南等地公开教学和科研讲座。在《人大复印资料（小学数学教与学）》等中文核心期刊发表多篇科研论文，科研业绩入编《特级教师思想录》。个人专业发展成果在《小学数学教学》《小学教师培训》等杂志以名师在线、特级访谈等形式推介。2017年前往美国加州长滩州立大学研修毕业，目前主持两项省“十三五”规划重点课题。