大假设思维法在数学教学中的实践探究

◎韦新祥

新课程标准指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维和创新能力方面的不可替代的作用，要让学生体会数学与其他学科、数学与生活之间的联系，学会运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。学生在数学课程上学到的内容不仅仅是在数学学科方面有价值，更重要的是对其发展有重要价值，让学生经历那些有利于其终身发展的学习活动，如观察、实验、猜想、计算、推理、验证、交流、反思等”。

在学科核心素养中，数学学科的核心素养大体包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。其中思维贯穿于每一个方面，紧密相融。数学对思维的训练，主要是演绎与归纳的逻辑推理能力。

我校的课堂教学改革理念与新课标提出的理念完全相符，在教学设计与教学活动中，始终以思维为主线，要突出“大假设思维法”以推动学生的科学思维、批判性思维以及创新性思维的发展，充分发挥其在知识建构以及提升学生学科素养中的作用。

“大假设思维法”是探究未知世界的科学思维方法，它由“假设形成”与“假设检验”两个基础环节构成，可简约为“假设——检验”模型。“假设”是指解释与解决问题的一个设想、计划或方案（实际上，各类知识结论、各种理论、假说、猜想等都可以看作假设）。“检验”主要是以逻辑与实验的方式论证假设的真实性。

从思维过程的角度看，“大假设法”一般包括五个步骤：第一、提出问题；第二、澄清问题（指出问题的重点与中心）；第三、提出假设；第四、演绎法推出假设的结果；第五、寻找证据或用实验来证实。其中，前三步主要为形成假设，后两步主要是验证假设。

从思维要素组成来看，“假设形成”一般以归纳法、类比法以及直觉思维等思维方法为主；“假设检验”一般以演绎法、实验法等思维方法为主。不管是假设的形成还是假设的验证，都需借助思维的范畴与方法来实现，从这个意义上看，各种具体的思维方法（归纳、演绎、类比、分析、综合等）可看作是大假设法的思维工具。因此，大假设法不是一个具体的方法，它是人们为探究未知世界而采用的各种相关基本思维方法的有机组合，是一个方法系统。

长期以来，数学学科以严密数理推理与论证著称。随着新课程改革深入推进，数学学科不仅强调假设检验过程的数理演绎证明，同时，也注重假设、猜想的形成，关注数学合情推理能力的培养。

例如，在北师大版数学八年级（下）《三角形的中位线》的教学中，“大假设法”思维得以很好地体现与运用。

教材首先提出问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形吗？

这一问题旨在引导学生经历知识生成与探究的过程，进而在活动中形成猜想与假设，发展合情推理的能力。学生在剪拼的过程中发现，通过连接三角形三边的中点，可以将三角形分成看上去全等的四个三角形。学生由此假设：连接三角形两边中点的连线与底边平行且等于底边的一半。

假设是否成立，还需要数学上的严格证明，发展学生的演绎推理。将前面的假设转化为数学符号语言后，形成下列数学证明问题：

已知：如图所示，DE为△ABC的中位线

求证：DE∥BC且DF＝BC

证明：（1）如果两个三角形相对应的两边及其夹角对应相等，

则这两个三角形全等 （大前提）

在△ADE与△CEF中，AC＝CE，∠1＝∠2，DF＝FE（小前提）

则△ADE≌△CEF （结论）

（2）若两个三角形全等，则对应边、对应角相等。（大前提）

△ADE≌△CEF （小前提）

∠A＝∠ECF， AD＝CF（结论）

（3）内错角相等，两直线平行。（大前提）

∠A＝∠ECF （小前提）

CF∥AB（结论）

（4）等量代换，如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.（大前提）

AD＝CF，BD＝AD（小前提）

BD＝CF（结论）

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（大前提）

CF∥AB，BD＝CF（小前提）

四边形DBCF是平行四边形 （结论）

（6）平行四边形的对边平行且相等。（大前提）

四边形DFCB是平行四边形（小前提）

DF∥BC，DF＝BC（结论）

（7）综上所证，DE∥BC且 DF＝BC

又例如，北师大版七年级下册第五章第三节内容《简单的轴对称图形》，课程标准中，既有探索等腰三角形的轴对称性质，又有认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，学生此时已经学习了等腰三角形的概念、轴对称的性质、以及三角形全等的条件，教学时引导学生通过观察、归纳、类比等活动，猜想结论，发展合情推理能力，而结论的正确性需要含有数学严密逻辑推理的演绎推理证明来确认。课堂上鼓励学生尽可能多的探索等腰三角形的特征，并尽量用自己的语言说明理由。对于对称轴的描述，学生可能有不同的回答，有的学生可能回答是顶角的平分线所在的直线，有的学生可能回答是底边上的中线或高所在的直线。要求学生把自己的观点对应的图形画出来，并用数学符号语言写清已知与结论。图（1）：已知等腰 ABC中，顶角 A的平分线AD所在的直线是ABC的对称轴。图（2）：已知等腰 ABC中，底边BC上的中线AD所在的直线是ABC的对称轴。图（3）：已知等腰ABC中，底边BC上的高AD所在的直线是ABC的对称

教师此时恰当提问“同学们所说的是直线是什么关系？”“如何证明？”由此引发、回扣教材中的问题，提升思维深度以及合情推理能力。

【提出假设】：图形中不同角色的直线的关系如此直观，学生不难发现或者说猜测它们是同一条直线，这一结论正是大假设法思维中的提出假设，我们都知道，提出假设往往比如何证明假设是否成立更具有思维贡献意义。

【验证假设】：推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。结论正确性的确认，即是大假设思维法中的验证假设，至此，通过观察、归纳、类比、猜想，提出假设（即某一结论）、验证假设是否成立（说明假设不成立很简单，能举出一反例即可），大假设法思维的完整性在本节课得到了体现。

如何验证？这直指概念的根本、概念之间的根源线脉。对称性的本质是重合，重合的本质是全等，学生不难饶有兴趣的给出“它们是同一条直线”的相关证明。

已知：如图（1）等腰ABC中，顶角A的平分线为AD。

求证：直线AD是底边BC上的中线也是底边BC上的高。

证明：等腰ABC中，顶角A的平分线为AD

则 AB＝AC（等腰三角形定义）

∠BAD＝∠CAD （角平分线性质）

AD＝AD

得 △BAD≅△CAD （SAS）

即BD＝CD（全等三角形中对应边相等）

则直线AD是底边BC上的中线得证；

又∠ADB＝∠ADC（全等三角形中对应角相等）

点B、C、D三点共线，且 ∠ADB＋∠ADC＝180°

即∠ADB＝∠ADC＝90°

则直线AD也是底边BC上的高得证。

这样的例子还有很多，我在平时的数学课堂教学中，坚持对学生进行“大假设法”思维的引领。在学生的自主学习下和老师们的指引下，学生的思维水平很快有了提高，思维的质量有一定的提升，使相当一部分学生体会到课堂的愉悦，也体会到学习数学的快乐，体会到学好数学是一种责任。因而在闲暇时间，有一定数量的优秀学生自发去找题做，在优秀学生的引领下，中等生很快行动起来，从中也体会到学习的快乐。在这种气氛的感染下，后进生也有所行动，但还缺乏自觉，此时在学生团队的帮助下，在老师的激励下，家长们的配合下，逐渐形成“你追我赶”、不让一个人掉队的现象，学生的思维水平逐步达到一定的高度，能力得到大大提升，正是在这种状态下，学生的整体成绩、思维的质量有一个大的提高。