叶片中弧线的一种混合算法研究

2018-08-03方志阳骆天舒徐少杰

机电工程 2018年7期

方志阳，骆天舒，徐少杰，方寅

(杭州汽轮机股份有限公司，浙江杭州 310022)

0 引言

透平叶片二维截面型线的中弧线是透平叶片气动概念设计的出发点：透平叶片中弧线轨迹是构造叶片初始就要确定的数据，然后根据中心在中弧线上一系列内切圆半径就可以给出叶片的延弦长方向分布的厚度，进而得到叶片二维截面型线；有了中弧线才可以给出进出气角等数据，然后可以确定速度三角形。以上所述是正向设计的过程。

在逆向设计过程中，先有叶片二维截面型线数据，如果要得到进出气角数据及速度三角形，就需要逆向求出中弧线数据，也就是叶片二维截面型线内部的一系列内切圆数据，一系列内切圆圆心就能构成和中弧线近似的插值曲线。以往的研究中有两种传统方法：陆启韶[1]提出了一种逐次迭代方法来求叶片型线内切圆序列，徐旭岭等[2-4]也采用了这种方法；LI等[5]提出了另一种不同的方法。但是这两种传统方法有一个共同的不足之处，即在前缘或尾缘附近很难得到内切圆。

针对以上问题，本文提出一种混合方法，即在叶片前缘和尾缘处利用最优化算法拟合出和前缘及尾缘型线最匹配的内切圆，而在叶片的其他部位使用前述的两种传统方法。

1 方法

传统方法1如图1所示。

图1 传统算法1几何演示

在传统方法1中，一般叶片二维截面型线由压力面型线和吸力面型线构成，其中一条型线由函数y=f1(x)描述，另一条型线表示为函数y=f2(x)。

传统方法2如图2所示。

图2 传统算法2演示

在传统方法2中，首先生成一条试探性的初始中弧线m(w)(w可以看作型线上一点在弦长上的投影)，取内接圆的半径r(w)为中弧线上一点m(w)到上下两条型线最近点距离的平均值。每根型线q(t)离散为N个点。型线q(t)上一点q的法线矢量表示为n，该法线与初始中弧线交于m(w)。点q到m(w)的距离与r(w)之差为：dq,m(w)=[q-m(w)]gn-|r(w)|。

然后摄动修改初始中弧线m(w)及内接圆半径r(w)使得dq,m(w)最小，此时点m(w)是内切圆圆心，r(w)是内切圆半径。这样逐点得到中弧线及内切圆系列。

这个方法在叶片的前缘及尾缘区有可能碰到这样的问题：因为初始中弧线m(w)并不是真正的中弧线，前缘及尾缘处型线的法线不一定能和初始中弧线端点相交，迭代计算不一定能开始进行。

综上所述，必须寻找一种求前缘和尾缘内切圆的办法。

前缘拟合圆如图3所示。

图3 前缘拟合圆

一般叶片的前缘和尾缘处各有一段型线和中弧线内切圆系列中的第一个圆和最后一个圆是重合的，但这只是在数值上近似重合的。

这个特点用用下式描述：

(xi-xc)2+(yi-yc)2-R2=0,

(1)

式中：xi，yi—前缘或尾缘型线上点i的坐标；xc，yc—中弧线内切圆系列中的和前缘或者尾缘重合的圆心坐标(在下文表示要拟合圆的圆心坐标)。

如果点i不在此圆上，则有下式：

|(xi-xc)2+(yi-yc)2-R2|>0

(2)

上式可以看做是点i相对于要拟合圆的偏离量。利用上式，对于前缘或者尾缘上的n个点可以定义一个函数来表示这些点相对于要拟合圆偏离量总和：

(3)

从图3可以直观地看出：当Δ小于某一个非常小的数值时，可以认为拟合成功。如果令这个函数为目标函数，可以把这曲线拟合问题变成一个最优化问题：

(4)

式中：η1—上式中的xc；η2—上式中的yc；η3—上式中的R。

如此处理后就可以利用各种最优化数值方法求解该问题[6-10]，得到了xc、yc、R的最优解，也就得到了拟合圆。还可以改变参与拟合点的位置和数量，反复求解问题，通过比较残差Δ，确定参与拟合前后缘型线部分及拟合圆的最终参数。最后得到构成中弧线的内切圆序列的第一个和最后一个圆。

叶片其余部分的内切圆可以采用前述传统方法求解。

2 算例及结果分析

本研究试算了NACA65系列叶型中的NACA65(10)-10叶型的中弧线及厚度分布[11]。NACA65(10)-10叶型是NACA65系列叶型的基准叶型。首先利用NACA456软件在理论中弧线及厚度分布数据的基础上生成叶型型线的坐标数据[12]，然后利用本研究提出的算法从NACA65(10)-10叶型型线的坐标数据反向求得中弧线及厚度分布数据。

该数据和理论数据的比较如图4所示。