原创研发收获丰高考预测尤可期

2018-08-02山东尹承利

教学考试(高考数学) 2018年3期

山东尹承利

由《教学考试》杂志社主办的原创研发项目，从2017年6月第一批原创研发团队成功组建开始，到2018年1月第二阶段圆满结束，历经了8个多月的时间，收获颇丰.笔者作为两个阶段的亲身经历者，感受至深！首要的是收获了团队“原创、研发”的开拓精神，即原创理念引领、团队通力合作、把握高考脉搏、服务一线师生；其次是老师们在参与“原创、研发”活动的过程中，相互学习、借鉴，不仅收获了友谊，也使自身能力得到大幅度的提升.数学团队最重要的收获是：在团队老师通力合作下，命制出了文、理各三套高质量、经得起推敲和时间检验的精品试卷.

现以第二阶段的原创研发试题为依托，就2018年高考对各考点的考查作一下细解和预测，以期对莘莘学子的复习备考有所启迪.

一、集合与常用逻辑用语

1.集合：集合基本运算是必考点，一般在选择题前两题的位置，主要考查集合的交、并、补运算.预测2018年高考或考查交补或并补的混合运算,题干的已知集合用枚举法给出；或考查交集运算时可能会涉及一元二次不等式；也有可能是以集合信息迁移题的形式出现.

示例1.(原创卷理1)设集合A={a,0}，集合B={-4,log2(a+3)2}，若A∩B={0}，则A∪B=

( )

A.{-1,0,-4} B.{-2,0,-4}

C.{0,-4} D.{1,0,-4}

解析：本题以枚举法的形式考查集合的并运算和对数的运算.

由题意，log2(a+3)2=0,解得a=-2或a=-4(舍)，所以A={-2,0},B={-4,0}，A∪B={-2,0,-4}，故选B.

2.常用逻辑用语：常用逻辑用语是高频考点，主要考查命题及其关系、充要条件、简单的逻辑联结词和全称量词与存在量词.其中充要条件的判断和量词的考查是重点和热点.预测2018年高考考查命题的否定或充要条件的判断.

( )

解析：本题考查含有一个量词的命题的否定.

由存在性命题的否定：∃x0∈M,p(x0)的否定为∀x∈M,p(x)，所以P为∀故选C.

( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分且必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：本题考查充要条件的判断.

命题p：曲线f(x)=ax3-(a-1)x2-3x+7在点P(1,f(1))处切线的倾斜角不小于45°，即切线的斜率k≥1或k<0,

因为f′(x)=3ax2-2(a-1)x-3，所以k=f′(1)=3a-2(a-1)-3=a-1，当k≥1或k<0时，解得a≥2或a<1.

命题p不能推出命题q，反之可以，所以p是q的必要不充分条件,故选B.

二、函数与导数及其应用

1.函数

(1)函数概念：主要考查函数的奇偶性、单调性和最大、最小值，在客观题和解答题中都可能出现.

(2)指数函数、对数函数的图象和性质是考查的重点，在客观题和解答题中都可能出现.由于对幂函数要求不高，可能会在小题中考查.

(3)函数零点与方程根的关系等，出小题的可能性较大，但也不排除渗透在解答题中考查的可能.函数模型及应用是应用题最好的载体，应引起足够的重视.

(4)在客观题中考查函数主要以函数图象的判断、函数值的比较大小等形式出现.

预测2018年高考函数图象与性质及运算是必考点，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、函数图象的判断、分段函数求值等.

( )

解析：本题考查函数图象的判断.

2.导数

导数作为解决函数问题的工具，是高考考查的重点.主要考查导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数问题中的应用、生活中的优化问题、定积分.其中导数的几何意义、导数的应用(包括运用导数判断函数的单调性、求最值及实际应用)是重点，大都在解答题中考查，而且常常作为压轴题.

预测2018年高考主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、最值等，其中以求解单调性以及不等式的证明为主要设问方向，重在考查利用导数解决函数性质问题或最值问题及转化与化归能力.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

解析：本题考查以导数为工具讨论函数的单调性及证明不等式.

(Ⅰ)函数f(x)定义域为(0,+∞)，

由(Ⅰ)知，当x>1时，f(x)>f(1)=0,

故当x>1时，x-1-2xlnx<0.

①式成立,下证②式.

所以函数u(x)在(0,+∞)上单调递增,

则当x>1时，u(x)>u(1)=0.

三、三角函数与解三角形

1.三角函数：主要考查任意角的概念、弧度制和三角函数，重点是三角函数的图象和性质，既可能单独出题，也可能与其他内容综合，但一般是容易题或中等题.

2.三角恒等变换：主要考查三角函数的诱导公式、简单的三角恒等变换，以和、差的应用为主.高考中有可能出大题，但一般不会太难.

3.解三角形：主要考查正弦定理和余弦定理及其应用.由于新课标降低了对三角恒等变换的要求，利用正、余弦定理解决一些实际问题成为高考考查的重点.解三角形问题一般出现在首个解答题中.

预测2018年高考在客观题中会有一道考查三角函数或解三角形的问题，主要考查正弦定理求角或三角函数的值域问题；在解答题中以三角函数与解三角形交替的形式来考查，题设两问，设问多为角相关、边相关和面积相关.

( )

A.1 B.-2

C.-5或3 D.-5或1

解析：本题考查三角函数的对称性等性质的应用及三角函数求值.

解析：本题考查正弦定理和三角恒等变换的应用.

=cos2B+2cos2B-2cosB

=4cos2B-2cosB-1.

又2B∈(0,π)，且A+B=3B∈(0,π)，

四、平面向量

平面向量主要考查平面向量的基本概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、数量积及向量的应用问题.重点是平行和垂直的条件、数量积的应用、夹角公式等.一般出小题，也有很大可能在解答题中与解三角形、解析几何相结合考查.

预测2018年高考考查平面向量的垂直、平行关系或数量积的可能性较大.

解析：本题考查向量的坐标运算、夹角和模的概念.

五、数列

数列主要考查数列的概念和简单的表示、等差数列和等比数列.等差数列和等比数列的应用是考查的重中之重，既在客观题中考查，也在解答题中与解三角形每年选择其中之一间隔考查.递推公式的要求虽然降低了，但从历年高考来看，仍是不可忽视的内容，递推公式很容易与选修中的归纳与猜想、数学归纳法结合起来，因此切不可忽视.

预测2018年高考会在客观题中考一道，主要考查等差、等比数列的通项公式、性质的应用；解答题与解三角形交替考查，若考数列侧重于对基本量及求和方法运算的考查.

示例9.(原创卷理17)已知函数f(x)=x2-5x+1，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n∈N*)均在f(x)的图象上.

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{n·2an}的前n项和Tn.

解析：本题考查数列通项公式的求法和错位相减法求数列的前n项和Tn.

(Ⅰ)因为(n,Sn)在f(x)的图象上，

所以Sn=n2-5n+1.

当n=1时，a1=S1=1-5+1=-3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-5n+1-[(n-1)2-5(n-1)+1]=2n-6.

六、不等式

高考中不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与简单的线性规划问题、基本不等式的应用是考查的重点.一元二次不等式作为一个基本工具出现，一般融合在其他问题的解法中，单独出大题的可能性不大.简单的线性规划应用问题、基本不等式的应用问题主要涉及最值，既可能出小题、也可能出大题或以实际应用题的方式出现.

预测2018年高考在客观题中考查线性规划问题，在客观题或解答题中渗透考查基本不等式的运用.

解析：本题考查线性规划问题.

不等式组表示的平面区域为如图所示的三角形ABC内部(包括边界),

解析：本题考查基本不等式的运用.

因为函数y=logm(x-1)+1(m>0,m≠1)的图象恒过点A，所以点A的坐标为(2,1).

因为点A在直线ax+by-1=0上，所以2a+b=1.

七、立体几何

(1)立体几何初步：主要考查空间几何体的结构特征、三视图，面积、体积计算，点、线、面之间位置关系的判断、证明.

(2)空间向量与立体几何：主要考查空间向量及其运算、空间向量的应用.从近几年的高考题来看，单独出空间向量题的可能性非常小，但一般都有涉及，主要是运用向量法解决立体几何综合问题.

预测2018年高考题在客观题中考查一道三视图问题、一道与球有关的组合体问题；在解答题中的考查形式比较固定，主要是其几何载体的区别，题设两问，文科的第一问考查空间线、面平行或垂直关系的证明，第二问考查求体积等；理科的第一问考查空间线、面平行或垂直关系的证明，第二问考查利用空间向量求空间角问题.

示例12.(原创卷文10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )

解析：本题考查三视图的识图和空间几何体表面积的求法.

示例13.(原创卷理18)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，四边形ABFE为矩形，且平面ABFE⊥平面ABCD，BC=CD=AE=1，AB=2．

(Ⅰ)求证:平面BDF⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角B-DF-E的余弦值.

解析：本题考查空间两个平面垂直的证明和利用空间向量求二面角的余弦值.

(Ⅰ)证明：因为平面ABFE为矩形，所以EA⊥AB，由平面ABFE⊥平面ABCD，所以EA⊥平面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，所以EA⊥BD.

过D点作DG⊥AB交AB于G，

所以∠GAD=60°，∠ADG=30°，

所以∠BDG=60°，所以∠ADB=90°，即AD⊥BD.

由AD∩AE=A，所以BD⊥平面ADE.

由BD⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面ADE.

(Ⅱ)以A点为坐标原点，AB所在的直线为y轴，AE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，

设n1=(x,y,z)为平面EDF的法向量，

设n2=(x1,y1,z1)为平面BDF的法向量，

由二面角B-DF-E为钝二面角，

八、平面解析几何

(1)平面解析几何初步：主要考查直线与方程、圆与方程、圆与直线的位置关系.这部分内容单独出大题的可能性较小，主要是小题，若出大题必然与其他内容综合.

(2)圆锥曲线与方程：主要考查圆锥曲线及曲线与方程.圆锥曲线以椭圆和抛物线为主，一般会出两小、一大三个题，应引起足够重视.双曲线要求较低，一般不会出大题.

预测2018年高考在客观题中考查两道，以圆与圆位置关系的判断或直线与圆的位置关系两大形式为主，考查圆的性质与方程及数形结合思想的应用；另一道是以双曲线为背景考查双曲线的离心率或标准方程，或将双曲线和抛物线结合考查.在解答题中均以椭圆为载体，题设两问，主要考查曲线的几何性质及其标准方程的求解、利用韦达定理、点到直线的距离公式、直线的斜率、点的坐标表示等探讨定值问题、最值问题、存在性问题等.

示例14.(原创卷文7)已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x-y-1=0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是

( )

A.x2+(y-3)2=18

B.x2+(y+3)2=18

C.x2+(y-4)2=25

D.x2+(y+4)2=25

解析：本题考查利用圆的几何性质求圆的标准方程.

设圆C的圆心坐标为(0,b)，

因为直线2x-y-1=0经过线段CM的中点，

所以圆C的圆心坐标为(0,4)，

所以圆C的标准方程是x2+(y-4)2=25,故选C．

示例15.(原创卷理20)已知动圆P过点A(2,0)，且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

解析：本题考查动点轨迹方程的求法及最值问题.

(Ⅰ)设动圆圆心的坐标为P(x,y)，由题意可得22+x2=(x-2)2+y2，化简得y2=4x，所以曲线C的方程为y2=4x.

(Ⅱ)设动圆圆心P(x0,y0)，M(0,y1)，N(0,y2)，

当y0>0时，y1=y0-2，y2=y0+2，

当y0<0时，y1=y0+2,y2=y0-2，

九、概率与统计、计数原理

1.统计

统计主要考查随机抽样、总体估计、变量的相关性和独立性检验.出小题的可能性较大，从历年高考情况来看，重点还是抽样方法，但也不能完全排除出大题的可能.注意的是，变量的相关性、独立性检验与其他知识点具有同等地位.

预测2018年高考以解决实际生活问题为出发点考查样本估计总体或数字特征的求法.

示例16.(原创卷文4)某人用手机软件记录自己一周内每天体育锻炼的时间(单位：分钟)，绘制茎叶图如图所示，已知这组数据的平均数是45,则中位数和x的值为

( )

A．45和6 B．45和9

C．44和6 D．44和9

解析：本题考查茎叶图及数字特征数的求法.

2.计数原理

计数原理主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理一般与其他内容综合，或以小题形式出现.

预测2018年高考重点考查求二项展开式中特定项的系数或参数问题的应用.

示例17.(原创卷理6)(x-3y)(x-2y)6的展开式中x4y3的系数为

( )

A.-80 B.-40

C.40 D.-340

解析：本题考查求二项式的展开式中特定项的系数．

3.概率

(1)主要考查事件与概率、古典概型、随机数与几何概型.重点是古典概型与几何概型，可能出小题，还可能与分布列综合.

(2)随机变量分布列数学期望、方差，结合概率仍是考查的重点，而且常以第二个解答题的形式出现.

预测2018年高考会以现实社会大环境中的一些热门问题为载体，考查线性回归分析、独立性检验及随机变量的分布列、数学期望等问题，考查数据分析的核心素养.

示例18.(原创卷理19)2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.共享单车的产生使得城市交通“最后一公里”出行难题有望进一步改善，共享单车的火热也带动了自行车行业的迅猛发展，产能、质量、设计成为共享单车考量合作自行车厂商的主要标准.已知某自行车厂生产自行车零件不同规格的一种零件，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)存在一定关系，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图如下.