基于考查问题的数学高考内容研究——以三角函数为例

广西 黎福庆

一、基于考查问题的数学高考内容研究的必要性

通过在中国知网期刊全文数据库和中国博士学位论文全文数据库、以及维普、万方数据库中进行检索等不完全统计，发现国内至今很少发表或研究基于考查问题的数学高考内容研究的文章.以“数学核心素养”作为关键字，在中国知网数据库中进行搜索，很多都是小学和大学的数学核心素养文章.此外，目前我国对于核心素养下的高考分析的相关论述，多散落在各种政府部门发布的关于高考的文献或书籍中，大多数不够系统和全面，更很少关注“基于考查问题的数学高考内容”这一概念.因此，基于考查问题的数学高考内容研究，是当前高中数学课程改革浪潮中需要研究的课题.

二、归纳2015-2017年全国课标卷(理科数学)各题型中同类问题从而得出考查问题

(一)类型1：利用主要三角公式变形求值1．归纳考查具体问题

(2015·全国卷Ⅰ理·2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=

( )

答案：D.

具体问题：利用两角和公式、诱导公式变形求值.

( )

答案：D.

具体问题：利用两角差公式、同角公式变形求值.

( )

答案：A.

具体问题：利用二倍角公式、同角公式变形求值.

2．归纳同类型的题型结构及变式

(1)小题题型结构

题型1：利用主要三角公式直接变形、化简含已知角的三角函数并求值；

题型2：已知一个角的三角函数值，利用主要三角公式变形、代换、求值，求含该角的其他三角函数的值.

注意：这里主要三角公式是指两角和与差的三角公式(含二倍角)、同角公式、诱导公式；这两类题型都是简单的三角恒等变换求值，变形一般不超过两次，或所用到的三角公式不超过两个.在解答题不考查三角函数时，会采用题型1来降低试卷难度.

(2)小题结构变式的训练题

( )

答案：B.

3．根据具体问题归纳小问题及其考查问题

(二)类型2：利用常见三角公式变形并根据三角函数图象和性质求三角函数有关的图象、性质或值

1．归纳考查具体问题

(2015·全国卷Ⅰ理·8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为

( )

答案：D.

具体问题：根据三角函数图象及其变换求三角函数单调区间.

(2015·全国卷Ⅱ理·10)如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y=f(x)的图象大致为

( )

答案：B.

具体问题：根据三角函数的图象和性质求三角函数的图象.

( )

A.11 B.9 C.7 D.5

答案：B.

具体问题：根据三角函数的图象、性质及变换求三角函数中参数的值.

( )

答案：B.

具体问题：根据三角函数的图象及变换求三角函数的对称轴.

( )

答案：D.

具体问题：根据三角函数的解析式进行三角函数的变换.

2．归纳同类型的题型结构及变式

(1)小题题型结构

①题型1：已知一个含参数的正弦型(余弦型)的函数或图象，求函数的性质或图象；

②题型2：给一个有周期变化背景的问题，求刻画该问题变化规律的函数的图象或性质.

注意：一般在解答题不考查三角函数时，会采用这种题来降低试卷难度.

(2)小题结构变式的训练题

④条件和结论变式：函数y= 的图象可由函数y= 的图象至少向 平移________个单位长度得到．

3．根据具体问题归纳小问题及其考查问题

(三)题型3：解答题(或小题)：利用正余弦定理、主要三角函数公式、基本不等式等知识，通过转化、方程等思想，经过运算、推理、解三角形及其有关问题.(注意：若有三角函数解答题则其主要内容是考查解三角形，若无解答题则用上述小题考查解三角形.)

1．归纳考查具体问题

(2015·全国卷Ⅰ理·16) 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是__________.

具体问题：利用正、余弦定理并结合图形解三角形及有关问题.

(2015·全国卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

具体问题：利用面积公式列方程，变形求解.

(2016·全国卷Ⅰ理·17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC·(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

具体问题：利用正余弦定理、三角形面积公式和方程思想解三角形.

具体问题：利用正弦定理、三角公式和方程思想解三角形.

( )

答案：C．

具体问题：利用正弦定理或余弦定理和方程思想解三角形.

(Ⅰ)求sinBsinC;

(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长．

具体问题：利用正弦定理、余弦定理、三角公式、面积公式列方程，变形求解三角形.

(Ⅰ)求cosB;

(Ⅱ)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.

具体问题：利用余弦定理、三角公式、面积公式和方程思想解三角形.

(Ⅰ)求c；

(Ⅱ)设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积．

具体问题：利用余弦定理、三角函数公式、面积公式和方程思想解三角形.

2．归纳三角函数解答题试题模型

3．根据具体问题归纳小问题及其考查问题

4．解答题得分点及其得分点训练

(1)解答题得分点

1．根据已知等式、正余弦定理、三角函数公式、所给三角形中的几何等量关系，列含所求量或与之有关的三角形元素的方程；

2．通过代换或运算，化简所列方程，消去与所求量无关的元素或量；

3．求出所求量；

4．给出面积或其他量的表达式，并转化为某个或某两个变量的函数关系式；

5．利用基本不等式或函数求最值.

(2)解答题得分点训练

(2015·全国卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

1.列方程

由“AD平分∠BAC，S△ABD=2S△ADC”，

求“BD和AC”，可列方程，

S△ABD=2S△ADC，得BD=2DC，③

由余弦定理得，

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，④

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，⑤

2.化简②③④

3.求解：由①②得第(Ⅰ)问的解，由③④⑤得第(Ⅱ)问的解.

三、三角函数考查的内容

(一)正余弦定理、主要三角函数公式、三角形面积公式、特殊角三角函数值；

(二)相关内容：用函数性质或基本不等式求最值；

(三)思想方法：函数与方程思想(用函数概念、图象和性质分析、解决问题， 寻找等量关系列方程)，转化与化归思想(利用公式、定理、有目标地化简、运算、求值).

四、基于考查问题的数学高考内容研究的教学启示

当前有一些学校的高考备考做法令人担忧，如：拿全部时间来上课或刷题，主要原因是个别教师自己没有弄清“高考到底考什么”.“基于考查问题的数学高考内容的研究”可以让教师教得少点，学生学得轻松点，本人观点主要包含两个方面：

(一)考查问题的归纳.将近三年高考全国卷试题按照内容分类，归纳各类试题考查的具体问题、小问题，归纳出小题题型结构及其变式、大题模型及其得分点.

(二)以“六题”为关键的高考复习板块教学设计.具体如下：1.考查问题对应题：依据考查问题，选高考题或对其变式；2.例题：依据考查问题及其小问题，对教材、参考资料、高考题进行变式；3.变式练习题：依据例题解答及其有关问题，对教材、参考资料进行变式；4.目标测试题：依据教学目标及其有关问题，对例题进行变式；5.作业题：依据本次和下次教学目标及其有关问题、某板块高考题，对教材、参考资料、高考题进行变式；6.课前测试题：依据作业题进行变式.