问渠那得清如许，为有源头活水来——《等差数列(第1课时)》教学设计

浙江 孔彭丰

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教A版)第二章数列第二节等差数列第1课时．数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且有承前启后的作用．在学生学习了数列的有关概念、得到数列的两种方法(通项公式和递推公式)后，学习等差数列是对数列有关知识的应用，帮助学生更好地理解数列；同时，通过学习和研究等差数列，也为接下来通过“类比”方法学习等比数列打好基础.等差数列的学习，帮助学生们在具体的问题情境中，发现数列的等差关系.

【教学目标】

1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式及应用．

2．能力目标：培养学生观察、归纳能力；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．

3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．

【教学重点】

1.等差数列的概念；

2.等差数列通项公式的推导过程及应用．

【教学难点】

1.理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；

2.等差数列通项公式的推导过程．

【学情分析】

本节课上课的是同济中学高一的学生，经历了半个学期的高中数学学习，部分学生的知识经验已较为丰富，他们的发展已到了形式运算阶段，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，但同时部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以笔者在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨，以符合这类学生的心理发展特点为目标，从而促进思维能力的进一步发展．

【设计思路】

本课主要安排三个篇章.

第一篇：数学是自然的.通过明代数学家程大位的一首诗《竹简容米》，抛给学生一个问题，引起学生思考，激发学生兴趣.同时引入一些具体生活中数字的例子，通过一般对于实数的研究方法(加、减、乘、除；能被2,3,5整除等性质)的引入来分析上述给出数据的一般关系，通过小组讨论的方式，把具体的生活问题用数学符号语言抽象出来，从而得到等差数列的定义.

第二篇:数学是严谨的.通过研究数列的一般方法，即研究项与项之间的关系，利用合情推理及数学符号语言得到等差数列的通项公式.美国数学家波利亚曾经说过：“合情推理是暂时的、有争议的和冒险的”.告知学生数学是严谨的.通过小组合作讨论的方法，用数学符号语言把数学抽象出来，从而推出累加法.

第三篇：数学是有用的.得到等差数列的定义及通项公式，就是对等差数列的识别和通项公式的应用.前后呼应，这个时候解决一开始抛出的程大位的题目《竹简容米》，研究出每层竹筒米的容量.然后是对知三求一方法的练习.通过小组合作的方式来完成例题解答.

最后,对于本课进行小结.

1．教法

①诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．

③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．

2．学法

引导学生首先从几个现实问题概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，用数学符号语言推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学使用多元的推导思维方法．用多种方法对等差数列的通项公式进行推导．

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心，各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清．

【教学过程】

第一篇：数学是自然的

一、引入：创设情境、提出问题

明代数学家、商人程大位在《算法统宗》有一道题目：

《竹简容米》

家有九节竹一茎，为因盛米不均平；

下头三节三升九，上梢四节贮三升.

惟有中间二节竹，要将米数次第盛；

若是先生能算法，教君算得到天明.

师翻译：有一杆空心的毛竹一共九节，每节能容纳米的量是不一样的.下面三节一共能容纳米3.9 L，上面四节一共能容纳米3 L，中间有两节竹.竹竿内米的容量是均匀增加的.请问先生，能算出中间两节竹子各盛米多少吗？

生：(沉默)

师：有困难，我们先放一放.

二、观察归纳、形成定义

师：在自然界、生活中，我们会经常遇到一些与“有规律的数字”有关的问题！

譬如上节课提到的斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,…；

哈雷彗星近三百年内经过地球的时间：1682，1758，1834，1910，1986，…;

从地面到10 km的高空，气温随着高度增加的变化情况：

高度(km)12345678温度(℃)2821.5158.52………

2000年，在澳大利亚悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目设置了7个级别，较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48,53,58,63.

师：在初中阶段我们学习了实数，研究了它的一些运算和性质(加、减、乘、除、质因数分解等)，现在，我们能不能用研究实数的方法来研究这些数呢？下面请同学们小组合作讨论，这些“特殊的有规律的数字”满足什么关系！

生1：有满足Fn=Fn-1+Fn-2关系的，有满足前面一项减去后面一项为同一个数关系的.

生2: 有满足后面一项减去前面一项为同一个数的.

师：很好，但是到底是前项减后项好，还是后项减前项好呢？不妨来思考下48-53=53-58=58-63=63-？，那么63减谁呢？所以满足前项减去后项为同一个数，这样会导致最后一项无人可以减了.所以我们说后项减去前项比较好，那么，我们要注意什么？

生：从第二项开始！

师：非常好！即：从第二项起，每一项与前一项的差为同一个常数，我们称该数列为等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

设计意图：开门提问，通过引用明代数学家程大位的《竹简容米》设置悬念，激发学生的学习兴趣.同时也反映了中国古代人民的智慧.接下来从具体的实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．通过分析,由特殊到一般，激发学生学习、探究知识的自主性，培养学生的归纳能力．

第二篇：数学是严谨的

师：我们如何用数学符号来描述等差数列呢？

生3：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d;……

生4：an-an-1=d，n∈N*.

生5：还是不对，应该为an-an-1=d,n≥2,n∈N*.

师：有没有想过，为什么要n≥2？

生6：因为有an-an-1=d；而an-1中，如果n=1，那就会出现a0，故要从第二项开始.

生7：能不能写成an+1-an=d,n∈N*呢？

师：很好，这个式子符合等差数列的定义，那这里需要n≥2吗？

生齐答：不需要.

师:所以我们也可以用an+1-an=d，n∈N*表示等差数列的定义.

设计意图：通过对一定数量材料的观察、分析，提炼出材料的本质属性,使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达.

三、举一反三、理解定义

师：接下来我们分小组合作来练习以下题目，判断是否为等差数列并说明原因.

A.1,3,5,7,9,2,4,6,8,10； B.5，5，5，5，5，5，…；

C.a,3a,5a,7a,9a,…； D.1，2，4，6，8，10，…；

E.4，5，6，7，8，9，…； F.3，0，-3，-6，…；

G.40，50，60，70，80，90，100； H.40，40，40，40，40，40.

生合作1组：A,D

不是，因为不满足定义.

生合作2组：B,E,F,G,H

是，d=0；d=1；d=-3；d=10；d=0.

生合作3组：C

是的，d=2a.

师：各组同学都非常棒！请同学们小组观察并小结：

探究1：等差数列的公差与等差数列单调性的关系？

1.哪些数列d>0：E,G；d=0：B,H；d<0：F.

哪些数列无法判断d的符号？ C.

2.单调性如何？增：(d>0)：E,G；不变：(d=0)：B,H；减(d<0)：F.

3.C组数列的单调性如何判断？

d>0，等差数列单调递增；d=0，等差数列为常数列；d<0，等差数列单调递减.

探究2：项数最少的等差数列需要几项？

分解问题：1.两项？譬如：1，2；答：不可以.

2.三项？譬如：1,2,3；答：可以.因为2-1=3-2=1 满足等差数列的定义.

3.若a,A,b三项满足等差数列，应该满足什么条件.

四、定义应用、导出通项

师：好，接下来请同学们探求等差数列的通项公式；分小组讨论，请各小组派代表上来展示.

生8：由等差数列的定义a1=a1；a2=a1+d；……，通过归纳，不难发现an=a1+(n-1)d.

师：很好，通过观察、总结得到：an=a1+(n-1)d；我们把这种通过观察、总结的方法叫作合情推理.但是美国的数学家波利亚曾经说过：“合情推理是冒险的、暂时的、有争议的！”同学们能否用一个严格的数学方法证明呢？

生9：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d;…an-an-1=d，

把他们加起来，得到an-a1=(n-1)d；于是得到an=a1+(n-1)d.

师:非常好！我们把这种方法叫作累加法.当n=1时，满足：an=a1+(n-1)d,n∈N*.

设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

第三篇：数学是有用的

五、理解通项、简单应用

师：通过计算，我们得到了等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,n∈N*，

请看课前我们的问题，可以设九节竹的第一节为a1；第二节为a2；……；第九节为a9，接下来请小组合作求中间两节竹的容量.

师：问题1：请将文字语言转化为符号语言.

生10：a1+a2+a3+a4=3 L；a7+a8+a9=3.9 L.

师：问题2：能否利用所学知识将这些数字关系找出来？

生11：a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=3 L；(a1+6d)+(a1+7d)+(a1+8d)=3.9 L,

解得a1=0.6 L,d=0.1 L,则a5=1 L，a6=1.1 L.

师：经过同学们的努力，我们终于解决了这个“先生”都难算的题目！

请同学们回顾一下：我们把所有数列中的项都用a1和d表示出来，两个未知数，两个方程，利用方程组的思想，把题目解决了.那么对于an=a1+(n-1)d,n∈N*这个通项，我们是不是可以利用解方程组将an,a1和n,d四项知三求一呢？接下来请同学们分小组做以下题目.

例1：(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项.(求an)

(2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是-401.(求n)

例2：在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.

设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系．初步认识“基本量法”求解等差数列问题．

六、课后小结、巩固知识

1.试用两种数学语言(文字语言、符号语言)来表述一下等差数列的概念：

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫作等差数列.②如果数列{an}，满足an-an-1=d,n≥2,n∈N*，则数列{an}叫作以d为公差的等差数列.

2.首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,n∈N*，在an,a1和n,d这四个量中可“知三求一”，体现方程思想；

3.等差数列的通项公式的推导方法——归纳法(由特殊到一般)和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法.

【设计反思】

1．从数学文化角度分析：中国数学文化历史悠久，中国前人对世界数学贡献巨大！本设计从中国古代数学家的一首诗导入，其新颖性有助于学生认识中国古代的数学研究，从而发挥学生学习的主观能动性，增强学生学习数学的兴趣，培养学生的民族自豪感；同时让学生认识到数学在具体的生产生活过程中的巨大作用，让学生了解数学是自然的！

2．从数学课程背景分析：本课按照章建跃老师在人教A版教材中对于数学的认识进行设计，着重体现数学是自然的、严谨的、有用的这三个特征，帮助学生认识数学、学好数学，为进一步的数学学习打好基础！

3．从数学思想方法角度分析：本课的各环节设计环环相扣、简洁明了、重点突出；引导分析细致、到位、适度；概念形成的素材合理；此外，加强了对于数学思想方法的渗透，例如本课中用方程思想、化归思想指导等差数列基本量的运算，学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固.

4．从教学过程能力培养分析：在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．

5．从教学方法角度分析：本节课体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨、解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，让学生“动”起来，小组合作讨论，实现“生动课堂”为目的，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．