一道高考数列题的探究与拓展

江苏 张启兆 陈伟斌

近几年全国各省高考试题对数列知识的考查大部分集中在压轴题和倒数第2题的位置，可见这部分内容非常重要.下面以2017年江苏省高考数学第19题为例，分析解决有关问题的基本思路.

题目：对于给定的正整数k,若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.

(Ⅰ)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

(Ⅱ)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.

一、解法探究

这是一道定义新概念型数学问题，除了给出“P(k)数列”的定义以外没有给出其他任何的条件，这样的数学问题就只能严格按定义寻求解决问题的突破口，真正做到“从定义出发”，第(Ⅰ)问是一个简单题，意在让考生通过具体数列感知“P(k)数列”的具体含义，它是第(Ⅱ)问的铺垫.本题的重头戏是第二问，目标是证明“数列{an}是等差数列”.在明确了目标后，就可以有的放矢.通常情况下，可以通过以下几个结论说明数列{an}是等差数列：

对任意的自然数n均有an+1-an是一个常数；

对任意n≥2的自然数n，均有an+1+an-1=2an.

回头审视一下题目条件：数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，这一条件意味着对任意自然数n，当n>2时，都有an-2+an-1+an+1+an+2=4an①；当n>3时，都有an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②.

如何将条件转化为目标式？这是解题最关键的一步！

如果一时找不到出路，我们可以认真地盯着目标式，不断地追问目标是什么？需要什么样的式子？在不断地追问下就能逐步明确目标式中需要(an+1+an-1)，那么如何构建这一式子呢？这就需要将①和②进行适当加减才有可能得到和式(an+1+an-1)，但是如果直接相加，左边的式子将变得更加繁杂，于是我们应将这两个数字进行“变脸”，如何“变”？可以考虑到将①或②的右边变脸为an+1和an-1，究竟将哪个式子变脸呢？通常选择①式，主要从以下两个方面来考虑：首先①长得相对“瘦小”，变起来方便，因为将其中一式变脸成an+1后还要变化出an-1，考虑到数学的对称美，an+1和an-1构建通常从同一个数字变化而来，而第②式相对“高大”些，变脸后两个新的式子将变得比较“长”；其次是变化出an+1和an-1后还要将这个式子相加，如果从②出发变化的话，涉及到数列中的项将越来越多，这对处理问题是极为不利的.考虑到这一点后我们不妨对第①式进行改造.

在①中将n置换成(n-1)，得an-3+an-2+an+an+1=4an-1，将n置换成(n+1),同样可得an-1+an+an+2+an+3=4an+1.

把这两个式子相加会得到什么呢？(相加的目的是向目标式an+1+an-1=2an靠近！)

an-3+an-2+an-1+2an+an+1+an+2+an+3=4an-1+4an+1. ③

两个式子相加后得到③式，它明显比原来长“胖”了.可是别忘了还有②式，仔细观察发现③中有6项，正好是②式左边的6项，于是我们可以将之代换成②式右边的6an，便得到6an+2an=4an-1+4an+1，即an+1+an-1=2an.

到此为止，似乎问题已得到解决，但可别被一时的成功冲昏了头脑，在上述思考过程中，我们多次将①中的n进行置换，而①成立的条件是n>2，也就是说用来置换n的所有式子都必须满足这个条件，即以下两个式子an-3+an-2+an+an+1=4an-1和an-1+an+an+2+an+3=4an+1成立的条件分别是n>3和n>1，即③成立的条件是n>3.因此，到目前为止还只证明了当n>3时，an+1+an-1=2an成立，即数列{an}从第三项开始是等差数列，而要说明数列{an}是等差数列必须说明an+1+an-1=2an对任意n≥2的自然数n都成立.因此，要完整证明{an}是等差数列，还必须单独证明a1+a3=2a2和a2+a4=2a3.

二、解法反思

1.反思解题结构实现解题思路明晰化

首先提炼其解题步骤，大致可以分为五大步，记为S1～S5.S1 明确目标式；S2 将条件转化为目标式；S3 证明{an}从第3项起成等差数列；S4 证明{an}从第2项起成等差数列；S5 证明{an}成等差数列.其中最关键的是第三步，而在第三步中最有价值的解题进展是“利用替换法” ．

2.反思问题表征，促进解题思路自然化

问题表征是解决问题时理解问题的方式．反思问题表征，能加强对问题信息的感知、理解与内化，促进解题主体对解题思路的探求．如：将①或②的右边变为an+1和an-1，究竟将哪个式子进行变化呢？根据“瘦小”“数学的对称美”选择①.

3.反思思想策略，实现陌生问题熟悉化

第(Ⅱ)问涉及的主要知识点、数学方法 、数学思想和数学能力如下表：

知识点等差数列的定义、性质及证明数学方法替换法、等式变形法、代入法、用定义验证数学思想从一般到特殊、转化与化归数学能力逻辑思维能力、等式变形及化简能力、数学运算能力、探究问题解决问题的能力

第(Ⅱ)问所选择的主要策略是简化与转化，且从一般到特殊的思想方法贯穿整个证明过程．其中第三大步S3体现了一般性的思考，第四大步S4则体现了特殊性的思考．这种思考问题的策略学生可能比较陌生.其实2011年江苏高考数学试卷的第20题和上面的试题类似.

三、尝试拓展

作为一种题型教学，其问题本身的解决不是终极目标，而是要把规律探究过程中所采用的类比推理方法、手段和探究的成果，充分运用到后续的学习过程和问题解决之中，在转化与运用的过程中，必须充分考虑学生的可接受能力，以及学生的学习现状，与已有的知识、能力、基础在学生的最近发展区与认知水平基点上，设计出让学生深入思考的变式问题，并通过这些问题的分析和解决，巩固学生先前通过类比推理所获得的知识.

波利亚说过：“类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方法和最高的科学成就．类比在各种不同的层次上得到应用”．可见类比是一种及其普遍而又非常重要的方法，是迅速提升联想能力的一种手段．类比思维通常有五种：特殊向一般类比、抽象向具体类比、低纬向高纬类比、平行性类比、方法性类比.平行性类比，就是在两类相近事物性质之间进行的类比，如等差数列与等比数列，椭圆与双曲线等.于是有改编试题如下：

(Ⅰ)若数列{an}是各项均为正数的等比数列，判断{an}是否为“Q(2)数列”,并说明理由；

(Ⅱ)若数列{an}既是“Q(2)数列”，又是“Q(3)数列”，证明：{an}是等比数列.

解：(Ⅰ){an}是“Q(2)数列”,理由如下：

因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为q．

(Ⅱ)因为数列{an}既是“Q(2)数列”，又是“Q(3)数列”，

所以数列{an}从第3项起成等比数列，不妨设公比为q′.

所以数列{an}是公比为q′的等比数列.

四、几点启示

1.要树立目标意识.对于定义新概念型数学问题，要引导学生树立目标意识，围绕目标逐步逆推.因为数学思维是从发现问题开始的，发现问题是解决问题的起点，也是解决问题过程的动力之一.发现问题后还需要进一步明白问题的实质，只有问题弄明白了，思维才有方向.明确问题就要找出问题的关键所在，它需要把问题加以分析，才能找到解决问题的方法.

2.要重视数学阅读能力的提高.近几年的高考试卷很明显地表露出一个特点：那就是增强了对学生阅读水平的考核.以2017年江苏高考第19题为例，这是一个定义新概念型的问题，如果学生不能读懂“P(k)数列”的意义，那么这道题就无从下手，其次如果学生不能深刻领会“P(k)数列”定义中的关键信息“k是一个确定的量，而n是满足n>k的任意自然数”，那么就不可能灵活地对“an-2+an-1+an+1+an+2=4an”中的变量作必要的替换，也就没法寻找到解题的突破口.要提高数学阅读能力，平时要重视审题，学会抓关键词，学会多元表征，还要重视对数学语感的培养.其实，语感是驾驭语言的一种技能，在数学学习中数学语感表现为数学理解的精准度和敏感度，数学问题中无论是显性的还是隐性的关系都能从问题本身的文字里得到一定的体现，如果学生能够敏锐地从文本的字里行间感知相关信息，那么就能比较快速而精准地解决相应的问题.