试题创新编拟的几种途径

四川 蔡勇全

近年来，在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》将促进公平作为国家的基本教育政策的背景下，为惠及教育民生，彰显教育公平，高考作为目前最权威、影响最广泛的招生机制，在保持连续性与稳定性的前提下，一直在加快命题改革的步伐，其中一个显著标志就是编拟设置了大量“情境的创设新颖、题型的构成新颖、提问的方式新颖、题目的立意新颖、背景的形式新颖”等创新型试题，此类试题以基础知识的灵活运用、数学思想与方法、探究和应用意识、继续学习的潜在能力等立意，注重从数学基础知识层面考查“交汇性”和“深度性”、从数学思想方法层面考查“灵活性”、从常规常见层面考查“新颖性”，旨在考查学生的创新意识与创造性思维能力，甄别考生未来进入高校继续学习的潜在能力.本文在认真分析研究近些年高考中创新型试题的基础上，结合命题技术，提出试题创新编拟的几种途径，以期对高中数学教学或复习备考有所帮助.

1 猜想构造

历史上许多难题的解决、学科的重大发现、科学技术的发明与创造，无不反映了科学家们大胆的创新精神，而猜想与构造正是创新的基石，为创造性成果的诞生发挥着不可估量的推动作用.受此启发，猜想与构造也常常被拿来用作编拟创新型试题.

从“类比猜想”视角设计创新型试题，主要是在一维与二维、二维与三维、三维与n维之间进行类比设计，首先要找到从一维出发到二维、从二维出发到三维、从三维出发到n维的前后共同点，即“可类比点”(否则就有为类比而类比甚至生搬硬套之嫌)，再以此共同点为线索进行设计.至于所设计试题的猜想结果的真实性，就需要在题外进行严密的推理论证.

案例2在两千多年前的古希腊，数学家们时常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上用小石子或画点来表示数字，按照小石子或点排列出的形状对数字进行分类，如图所示的实心点个数依次为1，5，12，22,…，这些数被称为五角形数，这些五角形数依次记为a1=1，a2=5，a3=12，a4=22，…，按此规律，(1)a5= ；(2)若an=117，则n=__________.

【答案】(1)35；(2)9

从“归纳猜想”视角设计创新型试题，可以有三种设计思路:一种是在同类事物之间由特殊到一般进行归纳设计，首先要确保已知数据正确、连贯，并且它们各自都只需经过不太复杂的变形即可呈现规律，这是最为常见的设计途径或思路，也是本题的设计思路；一种是通过前面的图形给出若干个数据，中间个别或局部空缺，接下来再通过后面的图形给出若干个数据，需要找出空缺数据；一种是前面个别或局部数据空缺，中间和后面的数据给出，需要找到前面的数据.尤其是第三种，仍具有新颖性，而且考查了逆向思维，可以作为未来试题继续创新的突破口.

此外，古代数学思想文化源远流长，往往成为创新型试题设计的重要参考，古圣先贤的某些文化成果可能并不十分深奥，但其蕴藏的思想方法却成为开启后世智慧的宝藏，至今仍熠熠生辉，永不过时.

从“构造”视角设计创新型试题，其设计思路主要是受一种典型的数学思维方式的启发:对于某些数学问题或目标式子，如果利用常见手段难以分析、解决，即代数问题用代数方法或几何问题用几何方法难以突破，那么可以另辟蹊径，比如代数问题从几何构造角度入手，也许能够找到事半功倍的捷径，这既是问题解决的方式，也为命制新颖试题提供了很好的启发和借鉴，上题正是把这种思维方式作为一种设计创新型试题的参照方向，不想却编拟了一道让人眼前一亮的好题.

2 课后拓展

凡高考命题，包括创新型试题在内的不论何种题型，其所涉及的数学知识与数学思想方法总是来源于课本，植根于教材，同时教材上包括课后“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等在内的所有课后拓展性材料都为命制创新型试题提供了丰富的素材和源泉.

案例4对于任意有限集合M，N，规定:card(M∪N)-card(M∩N)=d(M，N)，其中card(M)代表集合M中的元素个数.

( )

命题①:对一切有限集合M，N，P，一定有d(M，N)+d(N，P)≥d(M，P)；

命题②:对一切有限集合M，N，“M≠N”为“d(M，N)>0”的充要条件.

A.命题①是假命题，命题②是真命题

B.命题①是真命题，命题②是假命题

C.命题①和命题②都是假命题

D.命题①和命题②都是真命题

【答案】D

试题的背景溯源于人教A版必修1第13页“阅读与思考”中的材料“集合中元素的个数”，该材料通过大量篇幅和实例向学生引出了一个新型结论“对有限集M,N,card(M)+card(N)-card(M∩N)=card(M∪N)恒成立”.试题的编拟基本完全承袭了这一结论，所作的创新或修饰是引入了“d(M，N)”，而“d(M，N)”是用“card(M)”、“card(N)”、“card(M∩N)”等表示出来的，这也使案例4的解决恰好需要先把题设所给的条件式与这一结论结合起来得到d(M，N)=card(M)+card(N)-2card(M∩N)≥0，内容并不算超纲，但体现了高考命题“源于教材，高于教材”的指导思想，也体现了高考命题“用统一的数学观网罗素材”和“背景公平”的原则，其宗旨是考查学生的创新意识与未来进入高校进一步学习的潜能.

下面是两道高考创新型试题.

(参考试题)如果m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，那么m10+n10=

( )

A.199 B.123 C.76 D.28

【答案】B

两道试题的设计均取材于人教A版必修5第32页“阅读与思考”中的材料“斐波那契数列”，区别在于对斐波那契数列或明或暗的渗透，前者较明显，直接观察等式右边的数据，可知1+3=4，3+4=7，4+7=11，……，因此m10+n10=123，这不正是斐波那契数列的精髓所在吗？后者比较隐晦，需要通过变形后才能发现，因此在考查斐波那契数列的同时考查了运算求解能力.当然，暗藏“斐波那契数列”背景的创新型试题的设计思路较为开放，比如数列1，1，2，3，5，8，13，21，…；1，3，4，7，11，18，…；3，6，9，15，24，39，…；4，5，9，14，23，37，…，等等，它们均具有“斐波那契数列”涵义.

此类创新型试题的背景是古往今来的数学文化，以数学思想方法的掌握和数学文化内涵的理解立意，利用高考平台传承数学思维，撒播数学文化，促进素质教育的发展.介绍数学文化是新课标教材课后材料的一大特点，带动了以数学文化为背景的创新型试题如雨后春笋般出现，这些试题的背景或明或暗，但关键还是对这些数学文化所蕴藏的数学思想方法的掌握.

以上几例皆属基于教材中“阅读与思考”材料而命制的创新型试题，最后，再来看一道基于教材中“探究与发现”材料而命制的高考创新型试题.

( )

【答案】C

试题设计思想源于人教A版必修1第76页“探究与发现”材料“互为反函数的两个函数图象之间的关系”，为说明该试题的命制得失，笔者有必要先简谈一下其解决策略.从教师角度来讲，易知函数f(x)与g(x)互为反函数，那么二者图象应关于直线y=x对称，因此可以先研究g(x)图象上任意一点到直线y=x的最短距离，该距离的2倍即为所求.但问题也出现了，因为近些年来高考《考试大纲》明确指出——“同底指、对数函数互为反函数”仅属了解层次，如此设计试题，难免有超纲之嫌，甚至引起争议，因此，创新型试题的命制应该立足教材，尊重课程标准，只有这样，所命制的试题才能更加切合学生实际接受能力，更加贴近学生的“最近发展区”.

课后拓展性材料广泛地编入新课标教材，并在历年高考试题中不时得以体现，自然有其价值，那就是高考命题需要以此类素材为载体引领中学课程改革，可以以实际行动来支持中学课程改革，对待这些拓展性材料，应坚持“不抛弃、不放弃”的态度，实实在在地用好这些素材，提升学生的数学素质.

3 改编成题

成题，非传统意义上的“陈题”，是指思路宽、解法好、结构严密，并且经过了时间沉淀和检验的优质习题或测试题.成题改编是指对成题进行加工，包括改造(修改)、组合和重新包装.

3.1 高考试题的改编

【答案】DE;EF

无独有偶，高考湖北卷对四种平均数情有独钟，对上题进行了适当的改编，添加了若干干扰因素，命制出了同样精彩的一道以学习潜能立意的创新型试题.

(Ⅰ)当g(x)= (x>0)时，Mg(m，n)为m，n的几何平均数；

(以上两空只需写出一个符合要求的函数即可)

下面再来看一道2012年高考试题.

( )

A.10 B.12 C.14 D.16

【答案】C

本题以三角形的相似知识及反射原理的运用能力立意，难度较大，需要借助相似三角形来找出反射的位置，结合图象得出反射次数.此题经过改编，再次在2013年高考中以创新型试题的身份出现.

(参考试题)在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经过BC，CA反射后又回到点P，且在BC，CA上的入射点分别为Q，R.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于

( )

【答案】A

光的反射原理“三线在同一平面内；入射与反射光线处于法线异侧；入射与反射角相等”中有着丰富的点、线、角、面关系，因此可以作为命制创新型试题的重要题材.

试题以解析法、对称性、数形结合思想、化归与转化思想的运用立意，综合性较强，难度较大.笔者认为，如果进一步改编，对其条件和结论互换，还可有下列试题.

( )

【答案】D

若继续改编，试题还可由二维到三维，演变成2014年高考江西卷理科以立体图形为背景出现的试题(囿于篇幅，此处不做赘述)以及下文即将介绍的案例13(2015年高考山东卷理科试题).不难看出，光的反射定律、直线与圆锥曲线是命制此类创新型试题的极好素材，应该得到教师们足够的重视.

再者，为了体现成题改编的前后逻辑性，本文把 2008年高考陕西卷理科试题放在了下文案例16的位置，该题开启了数学与信息传输交汇命题的先河，将其作一定的改编，就成为了与其大部分背景一样甚至叙述相仿的 2015年高考福建卷理科试题:

【答案】5

此题以运算求解能力与推理论证能力立意，需要学生在理解新定义后，弄清新定义的外延与内涵，将其转化运用到新情境中，从而判断出i的值.本题的出现堪称高考命题史上的一次优秀的成题改编，改编后依然延续着数学与信息技术的渗透交叉.从这里可以看出，在高考命题中，对成题进行改编，只要改编得法，成题不仅不会快步走向历史被人忘却，成为真正的“陈题”，而且还会把价值发挥到最大，继续发光发热，闪耀考场.

3.2 课本习题的改编

成题的改编创新不仅仅针对过去的高考试题，课本上的例、习题甚至定理也是命制创新型试题重要的参考资源.如下面几例:

案例6(Ⅰ)①求证:cos(α+β)=cosα×cosβ-sinα×sinβ；

②由①推导sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

【答案】略

两角和与差的余弦公式是最重要的三角恒等变换，试题恰以诱导公式、两角和的正余弦公式证明过程的掌握立意，“取材于课本而不拘泥于课本”正是题目的创新特色，与其说是改编，倒不如说是由人教A版必修4第125页“两角差的余弦公式”以及由此而衍生的第128页“两角和的余弦公式”的推导的综合.题目虽原汁原味的来源于教材，毫无修饰，但题目的探索策略却是开放的，有效地考查了学生的发散思维，这正是题目的创新之处，命题者的良苦用心显露无遗.此题的出现，对于过往苦练海量题型套路的应试教育来说是始料未及的，也曾引起教育界的讨论:什么才是创新型试题的标准？在随后几年的高考试卷中，还陆续出现过下列多道创新型试题:

(参考试题)自行阐述且求证余弦定理.

【答案】略

(参考试题)(Ⅰ)已知l⊂α，m∩α=M，且m与α不垂直，n是m在α内的射影，l⊥m，求证:l⊥n.

(Ⅱ)阐述(Ⅰ)问的逆命题，然后判断其真假(不必证明).

【答案】略

(参考试题)已知{bn}为等比数列，公比为q.

(Ⅰ)试着推导{bn}的前n项和；

(Ⅱ)已知q≠1，求证:数列{bn+1}非等比数列.

【答案】略

其中第一道创新型试题直接取材于人教A版必修5第5页“余弦定理”，第二道创新型试题的前后两个小问直接取材于原大纲教材“三垂线定理的逆定理”及“三垂线定理”，第三道创新型试题改编自人教A版必修5第55页“等比数列的前n项和”，只不过教材上针对的是公比q≠1的情形，而此处还需考虑q=1的情形.这些题目无一不是把教材原型直接移植或稍作改编而得，其所传递出的导向信息很明确，那就是不以题海战术作为教学方式，不以解决高精尖的题目作为教学的唯一追求，要重视教材，重视基础，重视数学本原性知识的再创造过程，这种再创造过程既要体现在平时点点滴滴的教学中，也要体现在高考过程中.

案例7在平面直角坐标系xOy中，直线a:y=2x-4，点M(0，3)，圆E的圆心在a上，半径是1.

(Ⅰ)如果圆E的圆心也在y=x-1上，经点M作圆E的切线，求出切线的方程；

(Ⅱ)如果圆E上有点N满足2NO=NM，求点E的横坐标b的取值范围.

试题具有深刻的数学文化背景，实际上是由人教A版必修2第124页B组第3题(实行新课标前的大纲教材也编入了此题)改编而来，而且由原题所得到的圆就是著名的阿波罗尼斯(Apollonius)圆，原题如下:

试题在立意方面知能并重:知识方面，着重考查圆与圆、圆与直线的位置关系等；能力方面，旨在考查借助代数方法解决几何问题的能力.

改编自上题的创新型试题还有:

(参考试题)设动点E到点M(-2，0)及点N(1，0)的距离之比为2，则动点E的轨迹所包围的图形的面积等于

( )

A.9π B.8π C.4π D.π

【答案】C

当然，这方面的案例还可以举出若干，在此不再赘述.

4 渗透交叉

伴随科技时代向前飞速发展，学科之间的融合度越来越高，学科界限越来越不明显.不论是学科内还是学科间(俗称跨学科)的交叉渗透，都是学科知识高度融汇与分化的表现，这一切皆源于近一个世纪来人类知识体系的快速变迁，尤其是旧知识逐步被新知识充实或取代，在这样的背景下，高考出现渗透交叉创新型试题也就顺理成章、不足为奇了.将数学学科内各分支或数学和其它学科间在知识网的交汇处进行交融整合，找到知识融合的生长点，从而命制出创新型试题，可以预测，此类试题也将会越来越多，越来越新颖.

4.1 学科内渗透交叉

4.1.1 代数与代数

【答案】3 018

数学学科代数部分的数列与三角函数是高中课程极其重要的两部分内容，二者“联姻”设计出的交汇性试题，往往既能体现数列的基础性，又能体现三角函数的工具性，且大多以运算推理能力立意.二者也均可以与其他知识交融，如数列可以与解析几何融合为“点列”问题，三角函数可以与三角形、向量交融.

再以2015年高考陕西卷理科试题为例.

(参考试题)已知复数z=a-1+bi(a，b∈R)，若|z|≤1，则a≤b的概率是

( )

【答案】A

复数与概率都不是高中课程最核心的内容，但各自分开命题所占据的卷面将致使高考命题“重点内容应占较大比重”、“重视知识的综合性与内在联系”、“考查基础知识应达到一定的深度”等原则得不到兼顾，因此二者“牵手”设计出交汇性试题是很好的方向，况且，在整个数学知识体系中，二者关系“遥远”，所命制的交汇型创新试题往往能给解答者的视觉与思维感官带来极大的冲击.

4.1.2 代数与几何

案例9如图所示，互不相同的点Ai(i=1，2，…，n，…)和点Bi(i=1，2，…，n，…)分别在角C的两条边上，且A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥…，所有梯形An+1Bn+1BnAn的面积都相等.设CAn=bn.如果b1=1，b2=2，则数列{bn}的通项公式为 __________.

设计代数与几何交汇产生的创新型试题，一定要注意三个方面:代数式子具有何种几何意义；几何图形具有怎样的数据特征；它们怎样才能融为一体.从设计途径或方向来看，代数与平面几何交汇的创新题目多以如本题一样的“点列”问题为主，在解析几何问题中也可如此设计“点列”问题，实质上都是几何与数列的交融.

4.1.3 几何与几何

案例10如图所示，在长方形ABCD中，E是AD边上的动点，△A1BE是由△ABE沿直线BE翻折而成，平面ABCD⊥平面A1BE，那么点A1的轨迹为

( )

A.椭圆的一部分 B.线段

C.圆弧 D.以上答案均不是

【答案】D

以立体图形为载体，以空间想象能力立意，设置满足一定条件的动点，着力将动点运动的轨迹设计为圆锥曲线或圆锥曲线的一部分，这是设计立体几何与解析几何交融的创新型试题的惯用渠道，这类试题对促进思维能力和对核心概念的理解大有裨益，不论是对命题者还是解题者都提出了较高的要求.

案例11已知两条异面直线互相垂直，有一动点到这两条异面直线的距离相等，并且该动点在经过其中一条直线而平行于另一条直线的平面内，则该动点的轨迹是

( )

A.双曲线 B.抛物线 C.椭圆 D.直线

【答案】A

设计立体图形中镶嵌圆锥曲线这类问题，需要重视两点:立体图形空间结构特点；圆锥曲线定义的合理植入，这也是对知识理解深刻性的考查典范.

案例12已知B是以点A为圆心的圆形卡片内部一定点，动点C在圆周上运动，折叠卡片，使B，C两点重合，EF为折痕，再把卡片抚平，AC与EF相交于G，那么动点G的轨迹是

( )

A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆

【答案】D

试题以圆锥曲线定义的理解立意，以圆为背景，在圆与椭圆的交汇处设计创新型试题，从知识上着力考查椭圆的定义，从能力上着力考查化归与转化的数学思想，注重甄别基础知识的掌握程度和思维的深刻性.

4.2 学科间渗透交叉

4.2.1 数学与物理

案例13自点(-2，-3)射出的一条光线经过y轴反射后和圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，那么反射光线所在的直线斜率是

( )

【答案】C

试题命制时，将物理学中“光的反射原理”与数学中求圆的切线斜率知识交汇在一起，小巧新颖，解法灵活.试题的立意知能并重:知识方面，着重考查圆与直线的位置关系；能力方面，注重考查计算能力和基本的逻辑推理能力.

4.2.2 数学与化学

( )

A.5太贝克 B.75ln2太贝克

C.150ln2太贝克 D.150太贝克

【答案】D

试题将学生熟悉的化学元素铯的性质与数学知识中函数的变化率两个概念融为一体，让学生初读此题时倍感亲切，有效检测学生对于导数的定义及导数运算法则的掌握程度.试题以理解能力和应用知识解题的能力立意.

4.2.3 数学与生物

案例15在以苍蝇为研究对象的生物学实验中，笼中原本有6只苍蝇，因操作不当混进了2只果蝇(两类蝇子大小相当)，于是给笼子打开一个小孔，让两类蝇子逐只飞到笼外，直至2只果蝇全部飞出，又关闭小孔，记笼中剩余苍蝇只数为η，则η的数学期望Eη=__________.

【答案】2

试题的设计是基于找到数学与生物学融合的生长点(即蝇子的数量角度)，立意在于分类讨论的数学思想与古典概型相关知识的应用，展现了数学的工具性.以数学与生物交汇而成的创新型试题的背景还可以是生物学中的基因序列、染色体、细胞分裂等等.

4.2.4 数学与信息传输

案例16为了提升传输过程中信息的抗干扰能力，常需在原来的信息中按某种规则添加相关数据组成传输信息.设原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}，其中i=0，1，2，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，其中运算⊕定义为:1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕1=1，0⊕0=0.例如，原来的信息为111，则传输信息为01111.在传输过程中传输信息受到干扰可能致使接收信息出错，则下列接收信息一定出错的是

( )

A.00011 B.10111 C.01100 D.11010

【答案】B

揭开数学与信息传播交织的神秘面纱后发现，本题中信息的传输借鉴了人教A版必修3第40页上的二进制规则，使得背景熟悉、公平，取材于课本而高于课本，着力检测学生接受新事物的能力和继续学习的潜能.

随着高考创新型试题命题走向多元化，学科间渗透交叉的力度必然更大，而且可以进一步断言:对于在此之前的数学与其他学科交汇的创新型试题，大多仅仅是穿了件交叉渗透的薄薄外衣，数学模型其实早已在题设中建立了，试题更多的是在考查数学的工具性作用，而其他学科知识所起的作用极其有限，那么在未来的高考命题中，为体现学科的深度交融，这部分创新型试题的立意可能会再多给一点关注在运用其他学科知识的推理论证能力方面.

5 现实加工

从紧贴现实社会的时事焦点、生产生活、新闻热点等寻找材料，提炼抽象出数学背景，选取合理的数学模型，然后进行深度加工、包装，注入数学内涵，一定能编拟出具有新意的试题.

(Ⅰ)新桥BC的长度是多少?

(Ⅱ)要使圆形保护区的面积达到最大，线段OM的长度应是多少?

【答案】(Ⅰ)150 m;(Ⅱ)10 m

试题生活味十足，取材完全来自于学生身边的民生事件，背景公平、自然，保护古迹、百姓出行、生态功能保护区等民生词汇的出现，体现了以人为本的试题设计理念，相信任何初次接触此类题目的学生内心的亲切感都会油然而生，并能很快融入试题情境，获得属于自己的解答问题的成效，而问题的解答经历了联想、建模、解答、反馈的过程，体会数学“从生活中来，到生活中去”.

案例18生产爆米花时，“有效率”是指爆开而不糊的数量(单位:颗)与总量之间的比率.已知有效率p与生产爆米花所用的时间t(单位:分钟)之间满足函数关系式p=at2+bt+c(a，b，c为常数)，如图所示，记录了三次实验数据，根据材料，可以得到生产爆米花的最佳时间为

( )

A.4.25 B.4.00 C.3.75 D.3.50

【答案】C

爆米花是人们喜爱的一种食品，试题取材于人们的“吃”，毫无违和感，亲切而自然，容易拉近与学生心理之间的距离，用一句流行词汇来说，那就是“接地气”.试题的设计展现了人文性，并质朴地反映出数学服务于生活的实用性、工具性.“有效率”无非就是有效部分与总量之间的比率，简单易懂，这类概念的设计仅仅是为后面的运算提供依据，不能设计得艰深，不能成为学生理解的负担，要体现公平性.虽然试题提供了现成的函数模型，以二次函数解析式及最值的求解、阅读理解能力、分析与解决问题的能力立意，但经过现实加工后，索然无味的函数问题瞬间有了生命活力，并显示出数学知识解决实际问题的真正力量.