逻辑推理试题探析

广东 温伙其

逻辑推理，是最新一轮课改六大数学学科核心素养之一. 纵观人教A版高中数学教材，逻辑推理在各个章节的教学过程中无处不在，并且在选修2-2第2章《推理与证明》中进行了详细介绍.回顾全国卷，从2014年开始，每年都出现考查逻辑推理问题的试题. 本文从教材对逻辑推理的分类及其特点出发，结合近年高考试题，探究逻辑推理问题的解题策略，并对2018年可能考查的方向做了预测，供各位读者参考.

一、教材溯源

人教A版教材选修2-2第2章《推理与证明》中详细介绍了以下概念：

推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.

归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.它的特点为由部分到整体、由个别到一般.

类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 它的特点为由特殊到特殊.

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.

演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论. 它的特点为由一般到特殊.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括:(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

二、考题追踪

近年来，不论全国考卷还是各地考卷，都逐步出现考查逻辑推理的试题，并且有越来越重视的趋势.

【例1】(2017·全国卷Ⅱ理·7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则

( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

答案：D

【例2】(2016·全国卷Ⅱ理·15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________.

答案：1和3

【例3】(2014·全国卷Ⅰ理·14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为__________.

答案：A

三、解题策略探究

1.数、式、图的归纳推理

解决此类逻辑推理问题，需要细心观察，寻找相邻项与项和序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列、递推关系式、平方数、立方数、(10)n-1数、2n数、(-1)n符号法则、周期等；图形的归纳推理包含数量问题、三视图、二次曲线图形、空间几何体等，推理时一般把图形语言转化为数学语言，进而转化为数或式，关键抓住相邻图形之间的关系.

解题策略一般为：

(1)涉及数字特征的推理：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律和符号即可解题；

(2)涉及不等式关系的推理：观察不等式的特点，注意是纵向看，寻找规律；

(3)涉及数列问题的推理：一般求出几个特殊的项，采用不完全归纳法，找出项与项数的关系；

(4)涉及图形变化的推理：利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证真假性.

2.类比推理

常见的类比情形有平面与空间类比、低维与高维类比、等差与等比类比、数的运算与向量数量积运算的类比、圆锥曲线间的类比等.

类比推理的一般步骤是：

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

以下以圆与球为例进行平面与空间的类比推理.

3.命题的逻辑推理

此类推理一般有“都”“或”“且”“不”“至多”“至少”“任意”“存在”等字词，解决办法为回归命题思想，间接通过逆否命题、命题的否定、全称命题和特称命题进行等价解题.

命题类推理一般用到的方法有：

(1)要判断命题为真命题，需经过严格的推理证明，而判断它为假命题，只需举出一个反例即可；

(2)原命题和它的逆否命题真假性相同，所以可以利用这种等价性间接地证明命题的真假；

(3)原命题和命题的否定真假总是相对立的，即一真一假；

(4)全称、特称命题，若其真假性不容易正面判断时，可以先判断其否定命题的真假.

结合上述策略，对本文考题追踪进行分析.

【例1】只要掌握关键：四人所知只有自己看到、老师所说及最后甲说话，题目即转化为以下四个事件.

步骤事件原因结论事件1老师的回答你们四人中有2位优秀,2位良好四人中有2位优秀,2位良好事件2甲看乙、丙的成绩四人中有2位优,2位良,且甲不知道自己成绩1.乙、丙的成绩:1优1良2.甲、丁的成绩:1优1良事件3乙看丙的成绩乙、丙的成绩:1优1良3.乙知道自己成绩事件4丁看甲的成绩甲、丁的成绩:1优1良4.丁知道自己成绩

故选D.

整整一下午，我都跟马兰在讨论李老黑为什么非要把闺女嫁给我的问题，但我们同样一无所获。这件事实在太蹊跷，太没头没脑了，以我俩的智商，无论如何都想象不到其中的原因。想不到就想不到吧，这也不打紧，问题是下一步我如何应付李老黑。硬扛着肯定不行，李老黑可是什么手段都使得出来。顺从更不行，马兰怎么办，再说我要真娶了李金枝，就她那个霸道脾气，那还不是请来一位奶奶。说实话，我宁肯八辈子打光棍都不愿娶这样的女人。

【例2】丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有以下两种情况：①丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，满足题意；②丙的卡片上的数字为1和3，此时乙的卡片上的数字为2和3，和已知矛盾，不合题意. 所以甲的卡片上的数字为1和3.

【例3】由三人去过同一个城市，且甲没去过B城市，乙没去过C城市可知，三人去过的同一个城市为A.

以上考题的解决，关键是从命题的否定出发，找到原命题为真时包含的情况，再进行下一步的推理验证. 在推理过程中不妨多尝试假设法、排除法、列表法和分类讨论法，以达到解决问题的目的.

4.不等关系的逻辑推理

题目条件中常有“多于”“小于”“不大于”“不低于”等字词，此类逻辑推理，只要把涉及不等关系的字词转化为数学不等式(组)，即可解题.

【例4】(2017·北京卷文·14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；

(ⅱ)女学生人数多于教师人数；

(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ；

②该小组人数的最小值为__________.

分析：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a,b,c.根据题意可列下表.

条件对应不等式综上得男学生人数多于女学生人数a>b女学生人数多于教师人数b>c教师人数的两倍多于男学生人数2c>a2c>a>b>c,a,b,c∈N*

所以第一小问：8>a>b>4⟹bmax=6.

第二小问：cmin=3,6>a>b>3⟹b=4,此时a=5,则a+b+c=12.

四、考题预测

1.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：

①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；

②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；

③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；

④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译.针对他们懂的语言.

正确的推理是

( )

A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德

B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英

C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德

D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英

2.若函数式f(n)表示n2+1(n∈N*)的各位上的数字之和，如142+1=197，1+9+7=17所以f(14)=17，记f1(n)=f(n)，f2(n)=f[f1(n)]，…，fk+1(n)=f[fk(n)]，k∈N*.则f2018(17)=__________.

3.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为

( )

A.5 B.6 C.7 D.8

【参考解答】

1.解：此题可直接观察选项用排除法得出正确答案，首先丁不会说日语，故排除B；然后根据第二条规则，日语和法语不能同时由一个人说，且乙不会说英语，故排除D；最后，四人没有共同语言，故排除C；再将A代入题干验证，符合条件，故选A.

2.解：由172+1=290⟹f(17)=2+9+0=11，

112+1=122⟹f(11)=1+2+2=5，

52+1=26⟹f(5)=8,

82+1=65⟹f(8)=11,

112+1=122⟹f(11)=5,

以此类推，fn(17)是从第一项起以3为周期的循环数列，又2 018÷3的余数为2，故f2018(17)=f2(17)=f(11)=5. 故答案为5.

3.解：由题意得，这种树从第一年开始的分枝数分别是1，1，2，3，5，…，则2=1+1，3=1+2，5=2+3，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是3+5=8，故选D.

4.解：根据椭圆离心率的说法可以写出推理的前提，

平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(-c，0)和C(c，0)，

双曲线的离心率是e.