注重数据处理分析 决胜考题能力培养——解读2018年概率与统计部分的考试大纲

广东 颜坚真

2018年高考数学考试大纲已公布，与2017年数学考试大纲相比，2018年高考数学考试大纲在考核目标、考试范围与要求等方面都没有变动.无论是知识内容及其要求的三个层次(了解、理解、掌握)，还是能力(空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识)要求、个性品质要求和考查要求都没有变化.这说明2018年高考数学学科的命题仍然保持相对的稳定.下面对2018年考纲在概率与统计部分进行综合解读.

一、考纲解读

概率与统计作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现. 对于概率部分，选择题或填空题中概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主，考查随机事件的概率；解答题中则常与统计知识相结合，考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用.对于统计部分，选择题、填空题中以考查抽样方法和用样本估计总体为主，兼顾两个变量的线性相关；解答题中则重点考查求回归直线方程及独立性检验.本部分着重考查学生数据处理能力和应用意识，所以，在备考策略上，概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略，注重看懂图表中的数据，并会处理分析，培养学生的审题能力.

二、真题呈现

(2017·全国卷Ⅰ理·19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．

(Ⅰ)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(Ⅱ)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

三、考题特点

1.数学语言丰富，阅读量大，共计19行文字(官方发布的试卷来统计).

2.考查知识全面：既有概率又有统计，既有数据又有分布.

(1)正态分布及其概率求法;

(2)二项分布的判定及其数学期望的求法;

(3)正态分布的3σ原则;

(4)数据平均数与方差的计算公式;

(5)数据的剔除;

(6)参数的处理.

四、考情分析

1.考生的心态分析

(1)心里一凉;

(2)阅读紧张;

(3)回读频繁.

2.考生的知识储备分析

(1)数据平均数与方差的计算公式没有问题;

(2)正态分布的简单应用没有问题;

(3)正态分布的3σ原则理解与应用有问题;

(4)附加参考公式和参考数据的应用有问题.

3.考生能力分析

(1)阅读能力不足;

(2)计算能力差;

(3)数据处理能力欠缺.

五、寻根溯源

源头一:考试大纲

《2017年全国统一考试大纲的说明》关于概率统计在生产生活中的阐述：

在工业生产中，零件产品质量的监控和管理是极为重要的环节，运用合理的方法抽检零件产品的质量指标，进而分析和处理质量指标数据以达到了解零件产品质量状况以及监控生产过程之目的，这其中需要大量运用统计与概率的知识和方法.利用正态分布拟合零件产品质量指标继而进行更加深入的分析也是常用的方法.本题以零件产品质量指标数据为背景，设计概率与统计、正态分布问题.这不仅对提高考生进一步学习统计与概率知识的兴趣能起着积极作用，也让考生体会到正态分布就在我们身边.试题考查的统计与概率知识较丰富，符合考试大纲的要求.

源头二：历年真题

(2014·全国卷Ⅰ理·18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8

(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用(ⅰ)的结果，求EX.

若Z～N(μ,σ2)，则P(μ-σ

源头三：教材背景

1.教材必修三(北师大第68页)章节小结对统计学习的阐述： 统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习，要特别注重统计的过程，即经历“收集数据——整理数据——分析数据——作出推断”的全过程.统计学习的要点是“做”而不是记忆和运算……感受统计的意义和价值，发展初步的统计观念，培养统计意识……在统计活动中真正理解统计对决策的作用.

教材必修三(人教版第79页)“阅读与思考”对生产过程中的质量控制图的论述：在现实生活中，有一些总体(如某地区同龄儿童的身高、体重等)的分布的密度曲线是由它的平均值μ与标准差σ完全确定的(图1～图3)，我们把这种分布记作N(μ,σ2)，称为平均数为μ，方差为σ2的正态分布.

图1 图2 图3

从密度曲线图可以测量出这个总体在(μ-σ,μ+σ)，(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)等区间内取值的百分比是：

区间取值的百分比(μ-σ,μ+σ)68.3%(μ-2σ,μ+2σ)95.4%(μ-3σ,μ+3σ)99.7%

2.本题的第Ⅱ问(ⅰ)的回答可以用人教版必修三第 80页的原话回答：

上述总体分布在产品质量控制中的应用是非常广泛的.例如，工人生产零件时，零件尺寸一般服从N(μ,σ2)分布.这样，零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的只有0.3%，它表明在大量重复试验中，平均每抽取1 000个零件，属于这个范围以外的尺寸大约有3个.因此在一批产品中随机抽取一个零件，零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外是几乎不可能发生的.一旦这种情况发生，即零件尺寸x满足 |x-μ|≥3σ，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况.比如，可能原料、机器出了问题，或工艺规程不完善，或工人操作时精力不集中等.这种情况下，需要停机检查，找出原因，使生产过程重新控制在一种正常状态，从而避免继续生产更多的次品，以保证产品质量.

3.本题的第Ⅱ问(ⅰ)的回答也可以用北师大版选修2-3第 65页的原话回答：

从上面的结论中可以看到，随机变量服从正态分布，则它在区间(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有4.6%，而在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎不可能发生.

六、审题解答

【解析】(Ⅰ)由题可知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之内的概率为0.997 4，则落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率为0.002 6.

所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.

由题可知X～B(16,0.002 6),

由二项分布的性质，得E(X)=16×0.002 6=0.041 6.

(Ⅱ)(ⅰ)尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6 ，由正态分布知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外为小概率事件，因此，上述监控生产过程的方法合理.

≈0.09.

七、考题预测

1.近六年的概率与统计考题分析

年份201220132014201520162017题号第18题第19题第18题第19题第19题第19题题型概率概率统计概率统计概率统计概率问题分布列、期望、方差概率、分布列、期望、方差均值、方差、正态分布拟合回归方程分布列、最值正态分布概率、期望均值、方差创新点选择理由检验标准正态分布回归选择选择理由合理剔除

2.2018年考题考点预测

按照近六年的概率统计考题的考点分布情况，对2018年考题考点预测为：考查统计中对数据处理分析的可能性大，但不像2017年作为压轴题型出现，难度有所降低.

八、备考建议

通过以上对2018年考纲的解读及2017年真题的分析，提出2018年高考理科数学在概率与统计部分的三点备考建议：

1.考纲对基础性、综合性、应用性、创新性的要求是对能力要求的强调，因此，可以说加强从教材习题出发，兼顾综合，体现应用，进行微创新是2018年高考命题的基本方向.

2.应用意识体现在数学的应用功能，在概率与统计知识背景下命制应用性试题，备考时应重点关注.

3.2017年高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题.此类试题新颖、灵活，难度不大，广泛而又有科学尺度，考查考生的数学创新意识和创新能力，把此类题称为创新试题.在概率与统计部分，要注意它的创新性，注重对数据处理分析、附加参考公式的应用和参考数据的使用等.

在这些备考建议中，培养考生相应的能力就是备考的要求.

(1)阅读理解能力：训练在课堂;

(2)临场心态能力：训练在月考;

(3)数据处理能力：训练在练习;

(4)创新应用能力：训练在课外;

(5)先易后难答卷意识：训练在考卷;