非线性算子方程的正算子解问题

杨凯凡

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院,陕西 汉中 723001)

1 预备知识

算子理论是泛函分析的重要分支。算子方程是算子论中的一个热点问题，一直以来都受到很多学者的关注。对于算子方程的正算子解的研究产生于20世纪九十年代,并在控制论[1],动态规划[2]和统计学[3]等方面都有广泛的应用。近年来,算子方程的研究得到了很大的发展,关于各类算子方程的论文也层出不穷[4]-[9],使得算子方程成为一个非常活跃的领域。

本文在无限维可分Hilbert空间H上研究非线性算子方程

Xs+A*X-qA=Q

(1)

的正算子解的问题,其中B(H)表示H上的所有有界线性算子组成的全体。X是B(H)上的未知算子,A，Q∈B(H)是给定的算子且Q>0,s,q是给定的正整数且q

设A∈B(H)A*,‖A‖,σ(A),γ(A)分别表示算子A的伴随算子,范数，谱和谱半径。如果对任意x∈H，都有(Ax,x)≥0，则称A为正算子,记作A≥0。

对于B(H)上的正算子，显然有：(1)若P≥Q>0，则P-1Q-1。(2)对正算子P有λmin(P)IPλmax(P)I，其中λmin(P)=min {λ:λ∈σ(P)},λmax(P)=max {λ:λ∈σ(P)}

首先,我们给出一些定义和基本引理。

引理2.1[10]设A，B∈B(H)。若A≥B≥0,则‖A‖≥‖B‖。

引理2.2[10]设A,B是B(H)上的自伴算子且满足A≥B，则对任意T∈B(H)有T*AT≥T*BT

引理2.3[11]设A和B是B(H)上的正算子且满足B≥A>0及M1I≥A≥m1I,

M2I≥A≥m2I,则对t∈[1,+)，有At

2 主要结论

(3)γ(A)此处b=λmax(Q)=‖Q‖。

证明(1)令Y=Xs,则方程(1)可以转化为下列方程形式:

(2)

(2)方程(2)等价于A*Y-tA=Q-Y，结合条件Y-t>Q-1可以得出A*Y-tA>A*Q-1A，即，

Q-Y>A*Q-1A，因此可得Xs

AQ-1A*Xq

定理2.2设s≥q≥1是正整数且A是正规算子，X是算子方程(1)的正算子解,则

证明因为X是方程(1.1)的正算子解,从方程(1)可得Xs

从方程得Xs=Q-A*X-qA可得

记λmin(X)=x,即xs+q≥λmin(Q)xq-λmax(A*A)。令函数f(x)≥λmin(Q)xq-xs+q

记λmax(X)=y，则ys+qλmax(Q)yq-λmin(A*A)。令函数g(y)=λmax(Q)yq-ys+q且

当λmin(A*A)

同理可得

结合上面的结论可以得出结论，(1)β1λmax(X)α1或者α2λmax(X)β2。

(2)β1λmin(X)α1或者α2λmin(X)β2。