二次曲线渐近线与二次曲面渐近面的探究

宁晓琳

（山西水利职业技术学院， 山西 运城 044004）

渐近线与渐近面[1]是高等数学的一个重要概念，二次曲线的渐近线对于确定曲线的走向有非常重要的意义。如果一条曲线的渐近线存在，求出该曲线的渐近线就能知道曲线无线延伸时的变化趋势，进而可以更加全面和细致地研究曲线的形态。对于二次曲面的渐近面是同样的道理。本文探讨二次曲线的渐近线与二次曲面的渐近面的求法时,涉及到很多知识，其中提出了利用极限来解决几何问题的基本思路。[2]极限思想是一种重要的几何思想,应用极限思想探索解题方法,是数学解题的指导思想和策略原则之一。同时，本文探讨了共焦二次曲面，给出了共焦二次曲面的定义和基本定理，并证明了该定理。

一、二次曲线的渐近线的求法

（一）中心坐标法

定理1二次曲线的方程如果能表示为（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）+k=0（a1：a2≠b1：b2）的形式，那么该二次曲线必定有渐近线，并且它的渐近线方程为[3]

例1求二次曲线3x2-2xy-y2+3x+y+1=0的渐近线。

分析：第一步，判断题目中给出的二次曲线方程是否能表示为（a1x+b1y+c1）·（a2x+b2y+c2）+k=0 的形式。第二步，若能化为上述形式，则判断所得两条直线是否相交。第三步，若两直线相交，即（a1：a2≠b1：b2），那么即为两条渐近线的方程。3x2-2xy-y2+3x+y+1=（3x+y）（x-y+1）+1 所以，原二次曲线化为（3x+y）（x-y+1）=0。因为 3x+y=0与 x-y+1=0是两条相交直线，所以，二次曲线3x2-2xy-y2+3x+y-1=0的两条渐近线的方程分别为：3x+y=0与x-y+1=0。

（二）不变量法

任何一个二次曲线的方程总可以应用其三个不变量I1，I2，I3与一个半不变量k1来化简。

定义1 二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为

由F（x，y）的系数组成的一个非常数函数f，如果经过直角坐标变换

F（x，y）变 为 F（x1，y1）时 ，有那么这个函数 f叫做二次曲线①在直角坐标变换②下的不变量。

例2 求二次曲线3x2-2xy-y2+3x+y+1=0的渐近线。

分析：第一步，写出题目中二次曲线在直角坐标变换下的不变量I2，并判断它是否为0；第二步，若满足I2≠0则写出I3；第三步，根据渐近线公式求得。

解 先求出不变量I2=-4 I3=-4所以根据公式得到，所以二次曲线的两条渐近线分别为：3x+y=0与x－y+1=0。

（三）直径法

定义2 二次曲线的平行弦的中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦，直径也叫做共轭于平行弦方向的直径。[5]

定义3 我们把二次曲线与非渐近方向X：Y共轭的直径方向 X′：Y′=－（a12X+a22Y）：（a11X+a12Y）叫做非渐近方向X：Y的共轭方向。

定理3 渐近线是二次曲线上的直径，它可以看成是与自己共轭的直径。二次曲线渐近线的方程可以写成XF1（x，y）+YF2（x，y）=0（其中X：Y是二次曲线的渐近方向）。

例3 求二次曲线F（x，y）=2x2-5xy+2y2+2x+2y=0的渐近线。

因为 Φ（l，m）=2l2-5lm+2m2=0，所以得到 l1:m1=1:2，l2:m2=2:1分别代入直径方程得二次曲线的渐近线

二、二次曲面的渐近面的求法

（一）定义法求二次曲面的渐近面

根据二次曲面的渐近方向的定义知道，如果给定二次曲面

那么当方向X：Y：Z为二次曲面①的非渐近方向时，直线②与曲面①总有两个交点。

当X：Y：Z为二次曲面①的渐近方向时，直线②与曲面①或者只有一交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

现在我们考虑通过任意给定的点（x0，y0，z0）且以曲面①的任意渐近方向X：Y：Z满足条件Φ（x-x0，y－y0，z－z0）=0，所以过点（x0，y0，z0）且以渐近方向X：Y：Z为方向的一切直线上的点的轨迹是Φ（x-x0，y－y0，z－z0）=0。

即a11（x－x0）2+a22（y－y0）2+a33（z－z0）2+2a12（x－x0）（y-y0）+2a13（x-x0）（z－z0）+2a23（y－y0）（z－z0）=0

这是一个关于 x－x0，y－y0，z－z0的二次齐次方程，所以它是一个以（x0，y0，z0）为顶点的锥面，锥面上每一条母线的方向，都是二次曲面的渐近方向。

（二）中心法求双曲面的渐近锥面

假设双曲面的一般方程是

假设双曲面的中心是p0（x0，y0，z0），那么双曲面F的中心方程组就是：

定理4 双曲面F的渐近锥面方程是：

这里p0（x0，y0，z0）是双曲面F的中心。

证明 因为双曲面①和渐近锥面③有一样的二次项系数与一次项系数，所以由②可以知道，双曲面①和渐近锥面③有相同的中心p0（x0，y0，z0）。

用②化简，①和③将分别变成以下形式：

如果 a12≠0，a13≠0，a23≠0 那么将④和⑤做同样的旋转变换，用②化简，④和⑤将分别变成：

所以方程⑧是⑦的渐近锥面方程，因为经过坐标变换后，新得到的方程与原方程所表示的图像相同，所以根据这个原理，③是①的渐近锥面方程。

三、共焦二次曲面的基本定理

定义4 给定不同的实数a，b，c∈R，对于任意实参数 k∈R，k∉{a，b，c}，有以下的二次曲面

其中，矩阵Ak的定义如下

对于不同的k，曲面xTAkx=1是一族共焦二次曲面。

共焦二次曲面基本定理 给定实数a，b，c∈R，a＜b＜c，在共焦二次曲面族 xTAkx=1 中，对于每一个点 u=（u,v,w）∈R3，都存在三个曲面通过点 u，这三个曲面对应的参数 k1，k2，k3∈R 满足 k1＜c＜k2＜b＜k3＜a。三个曲面在点u处的切面互相垂直，点u的坐标（u,v,w）与共焦坐标（k1，k2，k3）的关系如下：

证明 已知 c＜b＜a，令 u=（u，v，w）是任意点，我们需要找到合适的k，使uTAku=1，即

因此，我们定义多项式φu（k）如下：

φu（k）是关于k的三次多项式，其系数为1，并满足以下关系式

多项式φu（k）有三个不同的实根k1，k2，k3，满足 k1＜c＜k2＜b＜k3＜a。三个曲面在点 u 处的切面分别是xTAk1u=1，xTAk2u=1以及xTAk3u=1。对于任意的实数 k 与 l，其中 k≠1，k，l∉{a，b，c}有以下的部分分数恒等式AkAl=（Ak-At）/（k-l）。

于是，有

由此可知，Ak1u与Ak2u互相垂直，即切面xTAk1u与xTAk2u互相垂直。同理可知，切面xTAk1u，xTAk2u与xTAk3u互相垂直。由于三次多项式φu（k）的首项系数是 1，并有三个不同的根 k1，k2，k3，因此有φu（k）=（k-k1）（k-k2）（k-k3）。将φu（k）中的k替换为a，b，c，我们有

四、结束语

本文对求解二次曲线的渐近线与二次曲面的渐近面作了较详细的分析与研究。同时，探讨了共焦二次曲面，给出了共焦二次曲面的定义和基本定理，并证明了该定理。