基于数形结合思想的线性代数教学实践

2018-07-30高敬华

镇江高专学报 2018年3期

滕旭，高敬华

(1. 云南大学旅游文化学院，云南丽江 674100； 2. 邓州市穰东高级中学校，河南邓州 474100)

数学总体可以分为代数、几何、解析几何(又称代数几何)。解析几何是用代数的方法研究几何问题的学科，建立方程与曲线的关系，利用方程将图形研究定量化，以数为工具，以形为目的，这是典型的数形结合。尽管代数和几何研究的重点分别为数和形，但从未完全割裂。例如，代数中的实数与数轴、方程的根与函数的零点、函数及其图像、二元一次不等式表示平面区域等问题无不与图形相关，几何图形中的角度、距离等须用数字表示。数形结合可以使抽象的代数问题直观化、几何问题定量化[1]。

线性代数的研究对象之一是线性方程组，主要是线性方程组解的判定、解的表示。解的判定工具有行列式和矩阵。通过行列式的计算和克莱姆法则可以判定方程组是否有唯一解，并可得到唯一解。利用矩阵的秩可以判定线性方程组解的3种情况，即有唯一解、有无穷多解、无解。线性方程组解的本质是向量。通过研究向量的线性相关问题可以解决解的结构和解的表示问题。许多学者对线性代数教学的几何直观化进行了研究。王海侠、孙和军、石霞研究了几种变换的几何意义，并通过MATLAB软件给出了三元线性方程组解的几何意义(注：未区分三元线性方程组无穷解的两种情况)[2]。章晓研究了行列式的几何意义，但未能给出克莱姆法则的几何意义；借助直线、平面的关系研究了线性方程组解的判定问题，但未进行详细的推理论证[3]。韩瑞珠研究了线性相关及无关的几何意义[4]。滕树军、韩旭里探讨了线性代数教学几何直观化的必要性及其重要意义[5-6]。

笔者查阅了相关文献，通过总结整理，给出线性代数中的抽象概念在二维、三维情况下的几何解释，从图形直观方面解释线性代数的主要理论。

1 行列式的几何意义及克莱姆法则的几何解释

克莱姆法则的几何解释：对于二元线性方程组

即

x1α1+x2α2=β，

图1 二阶行列式的几何意义

图2 二元线性方程组克莱姆法则的几何意义

图2中，

显然，S1=|x1|S，即

对于三元线性方程组

即

x1α1+x2α2+x3α3=β，

Dj(j=1,2,3)是行列式D的第j列元素αj由常数列β替换得到的行列式。

图3 三阶行列式的几何意义

图4 三元线性方程组克莱姆法则的几何意义

图4中，

|C′P|=|x1|·|CC1|，

设H1，H2分别为点C1，P到平面OC的距离，显然有H2=|x1|·H1。

显然，V1=|x1|·V，即

将以上二维、三维的结论推广。有n个方程的n元线性方程组

即

x1α1+x2α2+…+xnαn=β，

2 线性方程组解的判定理论的几何解释

对二元线性方程组而言，每个方程表示平面内的一条直线，因此二元线性方程组有解的几何意义是两条直线相交或重合，无解的几何意义是两条直线平行。二元线性方程组

中国的政治文化由礼乐来担当，无异于将审美提升到为政治服务的高度了，这是中国传统政治突出的特点。关于此，《乐记》有明确的表示。《乐记·乐论篇》说：“钟鼓干戚，所以和安乐也。”“乐至则无怨，礼至则不争，揖让而治天下者，礼乐之谓也。”中国古代将礼乐与天地相配，《乐记·乐论篇》云：“乐由天作，礼以地制。”“明于天地，然后能兴礼乐也。”联系到良渚祭天礼地活动，我们发现，中国祭祀、礼乐活动的雏形当在良渚已经具备。