基于数学核心素养培养的观念性教学——《向量复习课》教学点评

张 捷,张新胜

(常州市第一中学，江苏 常州 213003)

王尚志教授认为，数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质，是数学课程目标的集中体现，是在数学学习过程中逐步形成的[1]127-129。教学中应注重培养学生的数学核心素养。张鹤提出了“观念性教学”，即以数学知识为载体，通过研究数学问题，教给学生数学思维方式，让学生学会用数学思维方法思考问题、解决问题[2]。

1 引导学生体验数学知识的生成过程

数学抽象性的特点非常鲜明，往往给人以难懂、难教、难学的印象，学习者经历和体验学习过程，通过思考形成数学理解力时，才能真正懂得数学，学好数学[3]。观念性教学要求教师教给学生真实的、本质的数学知识和方法，即教会学生思考，帮助他们提高数学素养。教学设计时，要有意识地让学生以基础题为起点，经历从数字到字母的变化过程，在“数学化”“再创造”中习得知识，感受数学的魅力。构建合适的教学环境，指导学生从已有的经验和认知结构出发，通过观察、归纳、类比、抽象、概括等发现或猜测相关数学概念或结论，并验证发现或猜测，以更好地理解数学知识、思想和价值。

2 帮助学生构建和完善知识结构

例1中的结论是由特殊向量得到的，解决任意两个向量的夹角问题需要向量的夹角公式。通过例1，学生已经知晓向量的夹角只与向量的方向有关，与向量的模无关，那么a与b的方向如何呈现？观察后发现，只需将公式适当变形，即

(1)

例2若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的3点，动点P满足

其中λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________。

A) 外心； B) 内心； C) 重心； D) 垂心。

张鹤指出：“数学教师必须明确，解题教学的任务不是仅仅教会学生解答一份试卷，而应该有更为高远的目标。数学题目仅仅是思维训练的载体，解题不是目的，我们要通过解题，让学生懂得如何思考数学问题，如何解决数学问题。”[3]在学习过程中，学生思维受阻是正常的，教师点播、启发和引导，可以让学生豁然开朗，实现突破[4]89-90。教学设计时，教师要思考如何让学生更好地参与数学教学活动，包含情感参与、思维参与和行为参与。教师要讲出知识的逻辑性。经过思考、讨论疑难问题，发表不同意见等，学生可以将客观的数学知识内化为认知结构的重要成分。

例3(当堂训练) 若a=(m，2)，b=(-3，5)，且a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是________。

常见错误解法是，将公式

变形为

a·b=|a||b|cosθ。

因为a与b的夹角为锐角，所以

a·b=-3m+10>0，

即

事实上，a与b的夹角为锐角不等价于a·b>0。当cosθ=1时，a·b>0，此时，a与b的夹角为0°。

解因为a与b的夹角为锐角，且a与b不共线，所以a·b>0，即

当代科学家、哲学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试误方法。”教师是设计者、组织者，更是合作者，在数学活动中展现错误解答，让学生点评、辨析、纠偏，有利于拓展学生思维，调节学生情绪，帮助学生完善认知结构。当学生遇到困难时，教师要给予指导、鼓励和肯定，通过变换角度、改换类型、改变条件等帮助学生完善知识体系。

例4已知圆C：

x2+y2-2x+4y-4=0，

是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过坐标原点O。若存在，写出直线l的方程； 若不存在，说明理由。

再用

x1x2+y1y2=0

处理(过程略)。例4不能充分表现向量的优势，变式题目则可以。

变式已知圆C：

x2+y2-2x+4y=0，

O为坐标原点，是否存在斜率为1的直线l，l被圆C截得弦AB，且∠AOB为钝角。若存在，写出直线l的方程； 若不存在，说明理由。

真正有意义的数学教学是观念性教学。这与反复按套路、按题型操练的解题训练完全不同，教师要关注学生长久的发展，提高学生的逻辑思维能力。教师要整体认识所教的知识，“以发展的眼光，与时俱进地审视基础知识和基本技能”，帮助学生打好基础，发展能力[5]。教师需要在平时多解题、多反思、多研究，如这节课，类比化归是本，数形结合是魂，函数思想是源。

3 促进数学教师的专业素质发展

苏霍姆林斯基说：“教师要在繁重的工作中找到乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味的义务，那就得走上研究这条幸福的道路。”[6]数学教师依照课程标准进行教学设计应基于对学生学习规律的把握。备课要先备学生，全面了解学生的数学知识基础、知识经验，把握学生的学习和认知规律，主要是学生在数学知识掌握、数学技能训练、数学能力形成中的认知过程、认知差异、影响因素、可能障碍及成因。教学设计和改进可以唤醒数学教师的改革意识，实现课程观念的内化，激发课题研究的热情，促进教学进步和专业发展。