数学如水，一题数列味甘醇

贵州省瓮安中学 杨贤材

贵州省铜仁市第二中学 刘冠希

问题剖析：此题考查等差数列前n项和 与等差通项 的性质，处理的方法很多，可以从基本量的角度入手，利用首项和公差解决，也可以从等差数列的对称平衡性质入手，利用项值之和处理，还可以用公式变构等手法解决。

评注：此法为典型的基本量法，或称之为首项公差法。基本量法指在解题过程中抓住问题的基本量，然后把关键条件全部用这些基本量来表达，使得问题脉络自然显露，从而得到问题求解的方法。此题的基本量就是首项和公差，故又称首项公差法。实际上，在数列问题的解答中，首项公差法十分常用，故称之为首项公差法是很好的，学生也容易接受和理解。

解法三（公式变构法）：

评注：此法是高一（9）班学生申杰提出的，他敏锐地发现了前九项的下标可以分为三个等和部分的特点，从而迅速破解了此题，直击要害，异常精彩！应该说，该生很有洞察力，值得赞叹！

总之，一题多解，一解多用，是学好数学的手段。高中数学常常有意识地从不同角度去观察，用不同的形式去转化和用不同次序去演绎，往往会有意想不到的收获。譬如喝水，不妨把水杯多变几个形状试试，或许忽然间你也会惊奇地发现：

数学如水，问题如杯。

水之形者囿于杯，杯别则形异；

水之数者决于形，形同则数等。

水之数者，形之内也；

水之形者，数之外也。

故异形而求数，定数以变形。

叩其两端，理在其中矣，夫子是以占之。