数形结合思想方法在高中数学解题中的运用

福建省福清市华侨中学 张友家

著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”由此可见，“数”与“形”之间的关系是非常密切的。数形结合是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系相结合，便于学生快速解决数学题。在解答集合、函数、方程与不等式、三角函数、线性规划、数列、立体几何等方面的数学试题中，常常用到数形结合的思想方法。

一、数形结合思想在高中数学解题中运用的必要性

高中数学课堂上，“满堂灌”“填鸭式”的教学方法束缚了学生的思维，学生被老师“牵着鼻子走”，他们缺乏自主思考的能力，当然，也不利于培养学生的创新思维、发散性思维。为此，高中数学教师应结合新课程改革的要求，灵活转变教学方法，将数形结合这一方法运用到数学解题中，使学生掌握数形结合法的内涵，并能在解题中灵活运用数形结合。通过分析数学例题，寻找解决数学题目的有效方法。我们发现将数与形相结合，有助于学生将抽象的数学问题形象化、直观化。面对数学题时，学生不再畏惧、害怕，而是能迎难而上，从而增强学生的成就感和自信心，使得每位学生主动参与到数学解题中，提高自身的思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

通过分析历年来的高考试题，发现很多数学试题都需要利用数形结合思想，数形结合思想作为一种重要的解题方法，其将几何图形与代数知识相结合，使代数知识形象化、直观化，增加了数学知识的趣味性，提高了学生的学习效率、解题效率。

二、数形结合思想在高中数学解题中的运用策略

1.以数解形，用代数方法解决几何问题

“数”与“形”的关系是对应的，有些数量较抽象，很难把握，而“形”具有直观性、形象性的特点，能表达具体思维。有些较复杂的“形”，不但要正确把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

例1 如图，三角形ABC的三边分别切抛物线于D，E，G。F是抛物线的焦点。证明：A,B,C,F四点共圆。

解：设抛物线的方程为T：x2=2py，则有G(2pa,2pa2),E(2pb,2pb2),D(2pc,2pc2)，

三条切线方程为2ax-y-2pa2=0,2bx-y-2pb2=0,2cx-y-2pc2=0，

联立解得：A(p(b+c),2pbc),B(p(a+c),2pac),C(p(a+b),2pab)，

故△ABC的外接圆方程为LALB+λLBLC+μLCLA=0。

其中，LA,LB,LC是三条切线方程的左边的式子。

展开外接圆方程整理得：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，

因为该方程表示圆，故A=B∧C=0，

这道题要求学生求证A,B,C,F四点共圆，求证中，学生思考怎样确定圆的方程式，如果将A,B,C,F四点都能代入圆的方程中，则表明A,B,C,F四点共圆。这一解题思路运用了代数法，将几何问题转换为代数问题。

在平时解题中，看到此类型题目，学生会“一头雾水”，他们不知道如何下手，毫无解题思路，尽管始终分析图形，但是用几何法找不到解题的突破口。此时，学生应灵活运用数形结合的思想方法，结合图形，并结合之前所学的代数知识，利用代数知识解决该题，将几何问题转化为代数问题，无形中提高学生的解题能力。

数学学科不同于其他学科，仅仅依靠死记硬背，学生不能快速、准确地解决数学问题。数形结合方法在数学解题中的运用，使得学生的思维不再受到单一“形”或“数”的束缚，而是在两者之间互相“转化”，使得问题的解决变得容易可行。

2.以形助数，用几何方法解决代数问题

形具有形象、直观的优点，解决数学题时，要认真分析题目中的已知条件，将数量问题转换为图形问题，并通过分析图形、推理最终解决数学问题的方法。从本质上来讲，以形助学是以数量结构特征为依据，构造几何图形，转化为几何问题，顺利解决问题。“以形助学”的解题思路在于：明确题目中所给定的条件和所求的目标，从题中的已知条件或者结论出发，先观察分析其是否类似于已学过的基本公式、定理或图形的表达式，再做出与之相适合的图形，最终找到解决问题的方法。

通常情况下，解类似题时，学生不愿意动手画图，他们只是根据已知条件求得最终的答案。没有几何图的辅助，整道题做起来并不简单，学生无法在脑海中想象出动点的轨迹，解题的效率、准确率都不高。对此，在解题过程中，学生要认真分析题中所给定的已知条件，寻找已知条件中的数量关系，并绘制几何图，将数量关系通过几何图呈现出来，顺利解决数学问题。

从本质上来讲，数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形相结合，关键是代数问题与几何问题之间的相互转化，使得代数问题几何化、几何问题代数化。数学解题中运用数形结合思想方法时，要注意以下几点：一是明白概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，分析数学题目中条件和结论的几何意义和代数意义；二是构建关系，加强数与形的联系，完成数形转化；三是明确参数的取值范围。当明确以上几点后，教师应引导学生巧用数形结合思想，提高他们的解题能力。