深入挖掘课程资源——让数学例题活起来

新疆乌鲁木齐市第五中学 刘 艳

人教版八年级下册第十八章中，平行四边形的判定中的一道数学例题，不仅证法多样，而且包含多种条件变式、结论变式和图形变式，通过变式可以衍变出许多美妙的题目，对于培养学生的灵活思维起到了很好的作用。

已知：平行四边形ABCD，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，如图1。

图1

求证：四边形BFDE是平行四边形。

一、一题多证

证法一：利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明。连接BD，

证法二：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形来证明。

证法三：利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明。

证法四：利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明。

证法五：利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形来证明。

其他三种证明过程省略，本题可使用平行四边形的五种证明方法。其中，添加对角线，并应用对角线互相平分的四边形是平行四边形的证明方法最为简便。本题的证明由已知平行四边形的性质得到线段相等、角相等以及利用直线平行推出角相等，再与题目中`的其他已知条件结合起来，可以证明另外的四边形是平行四边形。以此类推，对平行四边形的性质和判定得以循环应用。在证明本题时，我们反复应用了三角形全等这一旧知识，数学的学习通常都是用旧知识来解决新问题,三角形是学习多边形的基础，很多多边形的问题都要借助三角形来解决。

二、一题多变

1.条件变式

将题目中的“AE＝CF”这一已知条件去掉，变为当E，F满足什么条件时，可证明四边形ABCD是平行四边形？

变式（1）是用运动的观点将AE＝CF这种一般情况转变为特殊情况。

变式（2）利用全等三角形证明，由ABCD得出证明全等条件是一边一角，可添加一对边相等的条件。（如原题与变式（1））也可添加一对角相等的条件。（变式（2））

2.结论变式

（1）由平行四边形BFDE进一步引出直线平行、线段相等、角相等。

（2）由证明过程中的全等三角形可得出线段相等、角相等。

这样可使学生重复使用平行四边形的性质和判定，加深对知识的理解和应用。

图2

图3

图4

图5

3.图形变式将已知条件中的E，F是AC上的两点变换成：（1）E，F是AC的延长线上的两点，如图2。（2）E，F是一组对边上的两点，如图3。

（3）E，F是一组对边的延长线上的两点，如图4。

（4）E，F是过对角线交点的直线与一组对边的两交点，（这种情况不用AE＝CF这一条件就可证明结论）如图5。

如上图所示,将图形变形之后，还可以对这些变形后的图形进行条件和结论变式，又可以得到相关的许多题目。

在教学中，本例题可作为平行四边形的性质和判定的综合应用。本堂课是这样设计的：（1）复习平行四边形的性质和判定；（2）讲授例题，让学生自主探索例题的五种证明方法，比较之后从中得出最为简便的证明方法。这样有利于提高学生灵活应用知识的能力。教师可将其中较为简便的两种证明方法示范给学生，或把学生分为五组，每组可用一种证明方法。通过实践,让学生体会平行四边形的性质和判定的综合应用以及应用三角形全等来解决四边形的问题。（3）通过对例题的条件和结论变式来培养学生大胆猜想、严格推理、勇于实践和归纳总结的能力。本环节的设计目的在于提高学生的数学思维能力。（4）可将此题的“图形变式”这一环节设计成学生练习，把学生分为四组，证明四种图形变形，让学生从中体会它们的证明方法与例题的证明大同小异,虽然图形发生了变化,但是思维结构并没有发生变化，从而达到“以不变应万变”的效果。（5）作业的设计可让学生课后对这四种图形变式再进行条件和结论变式，自己出题自己证明。

对于教材中的例题和习题，通过适当的变换，或改变题型，或改变条件和结论，或改变图形的位置，或引申拓展，让学生去探究、猜想，以培养学生的创造性思维。对学生数学思维的培养是一种探究性的活动，具有一定的规律和方法，在探索中，这些规律和思维方法的实践和领悟，必然会对学生智能的开发和数学思维的发展具有重要的推进作用。

综上所述，在教学过程中，教师应当给学生创设更多的条件与机会，让他们参与其中,而这些条件和机会的创设需要教师不断挖掘课本的内容，充分利用课程资源，让学生更好地掌握解题方法，最终达到“它山之石可以攻玉”的目的。比如对本道题的讲解与探究，基本上解决了平行四边形的性质与判定的相关题型。