初中几何“梯形”教学中的辅助线作法分析

江苏省海安县大公镇初级中学 钟 卿

梯形在初中几何中是较为特殊的图形，可以转化为平行四边形或者是三角形的相关问题，但是，在具体证明或解答时却不容易直接找到连接已知条件与结论之间的关系，因此，需要添加一定的辅助线来连接条件与结论。不同形式的梯形的辅助线添加方式也不同，需要做到具体问题具体分析。

一、梯形辅助线制作方法

（一）平移法

1.平移腰

例1：如图1，在等腰梯形ABCD当中，AD∥BC，AB=CD，∠C=60°，AD=15cm，BC=49cm，求CD。

图1

解：过D点作DE∥AB交BC于点E，则根据平行四边形的定义可得：四边形ABED为平行四边形，所以，AD=BE=15cm，AB=DE，且EC=BC-BE=BC-AD=49-15=34cm。又因为AB=CD,所以DE=CD。因为∠C=60°，所以△CDE为等边三角形，所以CD=EC=34cm。

总结：如果经过梯形的上底或者是下底的其中一个端点，可以作梯形一个腰的平行线，就可以将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形，这就是平移腰的基本做法。

2.平移对角线

例2：如图2，在梯形ABCD当中，AD∥BC,AC=15cm,BD=20cm,DH为梯形的高，高为12cm，求梯形ABCD的总面积。

图2

解：可以过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E，四边形ACED为平行四边形，因此，△ABD、△ACD、△DCE的面积都相等。所以，梯形ABCD与△DBE的面积相等。根据勾计算为：所以，梯形的面积为150cm2。这就是平移对角线的具体做法，这种辅助线的作法是比较常见且解题较为容易的方法之一。

（二）延长两腰

例3：如图3，在梯形ABCD当中，AD∥BC,∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD。

图3

解：延长腰BA与腰CD交于点E，在△BCD当中，∠B=50°，∠C=80°，所以，∠E=50°，所以△EBC为等腰三角形，BC=EC=5。同理可得AD=ED=2，所以，CD=EC-ED=5-2=3。

可见，将梯形的两个腰延长，交于一点，可以将梯形转化成三角形，然后进行计算和证明。

（二）作梯形的高

例4：如图4，在梯形ABCD中，∠C=60°,∠B=45º，AD∥BC,AD=3，DC=6，求梯形ABCD的面积。

图4

解：过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC,垂足分别为E、F，在Rt△DFC中，因为∠C=60°，所以∠FDC=30°，所这就是作梯形腰的具体做法。

（三）构造全等三角形

例5：如图5，在梯形ABCD当中，AD∥BC,点M、N分别是腰AB与DC的中点，求证：

证明：连接AN并且延长，交BC的延长线于点E，因为DN=CN,∠1=∠2，所以△ADN≌△ECN，所以AN=EN,AD=CE,又因为AM=MB，所以MN是△ABE的中位线，所以MN∥BC,MN=BE。因为BE=BC+CE=BC+AD，所以

利用梯形的底和腰的中点构成三角形，可以将梯形直接转化为三角形来进行解析。

二、作梯形辅助线的意义

在初中几何学习中，梯形是比较重要的一个学习内容。通过作辅助线，可以将梯形转化成不同的图形，进而通过对平行四边形和三角形的解析可以直接证明梯形的相关性质，而且了解初中几何中梯形辅助线的作法更可以为高中或者是大学时期的学习奠定基础。

总而言之，在解析几何当中，梯形是比较特殊的图形，作好辅助线有助于学生明晰图形构造。辅助线的添加将梯形问题转化为平行四边形或者三角形问题，使得辅助线起到了一定的桥梁作用。通过总结初中几何中梯形添加辅助线的几种方法，既可以提高解题效率，又可以培养初中生的发散思维。