关于矩阵方程ATX+XHA=B的一般解

王青 朱利刚 陈生安

摘要：本文主要研究了矩阵方程ATX+XHA=B的求解问题，我们证明该方程的解总可以通过矩阵方程ATX+XHA=B的特解和其对应的齐次矩阵方程ATX+XHA=B的解表出。

Abstract： In this paper， we mainly study the problem of solving matrix equations ATX+XHA=B. We prove that the solution of the equation can always be expressed by the special solution of the matrix equation ATX+XHA=B and the solution of its corresponding homogeneous matrix equation ATX+XHA=B.

关键词：矩阵方程；共轭转置；零因子；广义逆

Key words： matrix equation；conjugate transposition；zero factor；generalized inverse

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）17-0197-03

0 引言

矩阵方程是线性代数的一个重要内容，是矩阵最重要的数字特征之一。1920年，Moore首次给出矩阵广义逆的概念；1955年，Penrose用方程组给出广义逆的定义。此后，广义逆的研究获得了迅速发展并逐步应用在数理统计、最优化理论、控制理论等许多领域。目前广义逆已广泛应用于求解矩阵方程。近年来，一些学者对应用于机械系统、控制理论的较为典型的矩阵方程进行了广泛研究和应用，其中包括研究AX-XB=C[1，2]，ATX±XTA=B[3]等矩阵方程分别在有限域和无限域的广义解的存在性的讨论。

本文將在前人研究的基础上，讨论矩阵方程ATX+XHA=B的解的存在性，并得出其一般解的形式。

1 预备知识

记Cm×n为m×n的复矩阵的全体，本文所讨论的矩阵均为Cm×n中的矩阵。我们首先介绍一些众所周知的定义和结果。

定义1.1 设A∈Cm×n，用A表示以A的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，AH=（A）T称为A的共轭转置矩阵。

易知矩阵的共轭转置运算具有下列性质：

①AH=（AT）；②（A+B）H=AH+BH；③（AB）H=BHAH

定义1.2[4] 对任意一个m×n矩阵A，称下面的四个方程为Penrose方程：

①AXA=A；②XAX=X；③（AX）H=AX；④（XA）H=XA

如果矩阵X满足第1个条件，称X为A的1逆，记X=A （1）或A-；满足全部4个条件的记作A+，并称A-为减号逆A+为加号逆或Moore-Penrose广义逆。

定义1.3 设A∈Cm×n，B∈Cn×m，如果AB=0，则称A为B的左零因子，相应地，称B为A的右零因子。

命题1.1[5] 设A∈Cm×n，A-∈A{1}，则（A-）T=（AT）-。

2 几个引理

为研究矩阵方程ATX+XHA=B的解，本节先给出三个引理，它们都可以在文献[4]中找到。

引理2.1 设B∈Cm×n，P，Q分别为m阶和n阶非奇异方阵且PAQ=B，则

A{1}={QB-P|B-∈B{1}}

引理2.2 设A∈Cm×n，当（I-AA-）B=0时，方程AX=B有解，且通解为X=A-B+（I-A-A）Y，其中Y∈Cn×p为任意矩阵。

引理2.3 I-AA-是A的左零因子，I-A-A是A的右零因子。

3 主要结果及证明

为使表达式简化，令P=AT（I-（A-）HAH），Q=AH（I-（A-）T）AT。

定理3.1 若矩阵方程ATX+XHA=B有解，则必有

。

证明：若矩阵方程ATX+XHA=B有解，则不妨设为X0，于是ATX0+X0HA=B。

由引理2.3得

定理3.2 若（I-PP-）B=0，则矩阵方程ATX+XHA=B一定有解，且X=（I-（A-）HAH）P-B为它的一个解。

证明：当（I-PP-）B=0时，方程PY=B，即AT（I-（A-）HAH）Y=B有解。由引理2.2知，上述方程的解为Y=P-B+（I-P-P）Z，其中Z∈Cn×n为任意矩阵。因此可以取Z=0，则方程有解为Y=P-B。令X=（I-（A-）HAH）P-B，则由引理2.3有ATX+XHA=B，即X为矩阵方程ATX+XHA=B的解。

为了得到矩阵方程ATX+XHA=B的通解，我们先求其对应的齐次矩阵方程ATX+XHA=0的解。注意到齐次方程ATX+XHA=0的所有解可以由下述两类解的和所构成：

（1） 和ATX=-XHA（2）

第一类：对于矩阵方程组（1），X是AT的右零因子，XH是A的左零因子，此时（1）的解为

事实上，由引理2.2知方程ATX=0的解为X1=（1-（A-）TAT）Y1，其中Y1是任意矩阵。又由XHA=0得AHX=0，则其解为X2=（I-（A-）HAH）Y2，其中Y2是任意矩阵。

要求方程（1）的解，需选择适当的Y1和Y2，使得X1和X2同时满足方程（1）。

将X1代入式（b）中得AH（I-（A-）TAT）Y1=0，即得QY1=0。由引理2.2得Y1=（I-Q-Q）Z1。

将X2代入式（a）中得AT（I-（A-）HAH）Y2=0，即得PY2=0。由引理2.2得Y2=（I-P-P）Z2。其中Z1，Z2是任意的矩阵。 因此得到方程（1）的解为：

。

第二类：对于矩阵方程（2），X虽不是AT、AH的右零因子，但是ATX=-XHA，此时

由此我们得到下述定理3.3。

定理3.3 矩阵方程ATX+XHA=0有如下形式的解：

其中Z1，Z2为适当矩阵，Y为任意的满足运算的矩阵。

证明：由引理2.3将X代入原方程可得：

所以ATX+XHA=0。

定理3.4 若（I-PP-）B=0，则矩阵方程ATX+XHA=B有如下形式的解：

（3）

其中Z1，Z2为适当矩阵，Y为任意的满足运算的矩阵。

证明：由定理3.2得，当（I-PP-）B=0时，X=（I-（A-）HAH）P-B是矩阵方程ATX+XHA=B的一个特解。又由定理3.3知当（I-PP-）B=0时矩阵方程ATX+XHA=B对应的齐次方程ATX+XHA=0有如下形式的解：

显然（3）给出的X满足矩阵方程ATX+XHA=B；另一方面，矩阵方程ATX+XHA=B的任一解X都可以通過适当选取矩阵Z1，Z2，Y得到，即X总可以写成

的形式。

如果我们将方程改变为AHX+XHA=B，很容易得到下面的结果。

定理3.5 设A∈Cn×m，B∈Cm×m，I为m×m阶单位矩阵，矩阵方程AHX+XHA=B有解的充分必要条件是：

B=BH，且（I-AH（A-）H）B（I-A-A）=0

且在有解的情况下，其通解为

（*）

其中Y∈Cn×m任意的矩阵，Z是n×n的反对称矩阵。

证明：必要性：若方程AHX+XHA=B有解，设X0为其任一解，

则有AHX0+X0HA=B （☆）

两边同时取共轭转置得AHX0+X0HA=BH

因此B=BH

又由（☆）得

故有

充分性：若有B=BH，（I-AH（A-）H）B（I-A-A）=0成立，

则有

因为

所以为矩阵方程AHX+XHA=B的解，即矩阵方程AHX+XHA=B有解。

下证（*）是矩阵方程AHX+XHA=B的通解。

显然（*）给出的X满足矩阵方程AHX+XHA=B；另一方面，矩阵方程AHX+XHA=B的任一解X都可以通过适当选取矩阵Y和Z得到，即X总可以写成的形式。

参考文献：

[1]殷保群，奚宏生，杨孝先.矩阵方程AX-XB=C非奇异解的存在性[J].中国科学技术大学学报，2000，30（3）：340-344.

[2]Braden H W. The Equations ATX±XTA=B[J]. SIMA J. Matrix Anal. Appl.，2001， 20（2）： 295-302.

[3]徐龙华.矩阵方程AX-XB=C，AA-A=A解的讨论[J].河南科学，2012，30（5）：539-541.

[4]樊赵兵，卜长江.矩阵方程AX-XTB=C[J].大学数学，2004，20（5）：100-102.

[5]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001.