基于Barzilai-Borwein迭代的低复杂度大规模MIMO信号检测算法

刘孝祥, 张 晶,2

(1. 南京邮电大学通信与信息工程学院, 江苏 南京 210003; 2. 南京邮电大学通信技术研究所, 江苏 南京 210003)

0 引 言

移动互联网的出现推动了数据业务的飞速发展,预计到2018年移动数据将达到每月15.9艾字节,且移动端的数据流将占据所有IP流量的12%[1]。数据流量的爆炸式增长、各类新型业务和场景的不断涌现以及海量移动设备的接入,对移动网络的承载能力和处理能力提出了新的要求,这促进了第五代(the fifth generation,5G)移动通信系统的发展[2]。作为5G移动通信的关键技术之一, 大规模多输入多输出(multiple input multiple output,MIMO)系统由贝尔实验室的科学家Marzetta于2010年提出[3],其核心思想是:时分双工模式下,当基站端配置的天线数趋于无穷时,小区内的干扰、快衰落和噪声对系统容量的影响都可忽略不计,只有导频污染带来的小区间干扰会限制系统容量。目前,大规模MIMO系统受到业界的广泛关注,已经成为国内外研究热点[4]。

然而,大规模MIMO系统中尚存在诸多技术难题待解决。就信号接收而言,传统MIMO系统中高效的接收机难以在大规模MIMO中发挥作用,在大规模MIMO上行链路中,当使用最大似然(maximum likehood, ML)检测时,复杂度将急剧增加[5]。因此,针对大规模MIMO系统的低复杂度检测方案引起了人们的广泛关注。为了获得复杂度低且接近ML的最佳检测性能,文献[6-8]提出了非线性固定复杂度的球形解码(sphere decoding,SD)算法和禁忌搜索(tabu search,TS)算法;但是,当MIMO系统的维度很大或者调制阶数很高时,两种算法的复杂度仍然很大[9-10]。随着基站端天线数量的大幅度增加,信道之间逐渐趋于正交[4],基于这个特性,最大比合并(maximum ratio combining,MRC)、迫零(zero forcing,ZF)和最小均方误差(minimum mean square error, MMSE)等线性检测方法在大规模MIMO系统中都能获得很好的性能。但是,这些线性检测算法涉及复杂的矩阵求逆运算;为了降低矩阵求逆带来的计算复杂度,文献[11-12]提出了Neumann级数展开算法,但是当迭代次数大于2时,其计算复杂度减小的程度就不明显了,并且当基站端天线和用户天线数量之比接近1时,会带来明显的误码率(bit error rate,BER)性能损失[3],文献[13-14]提出了Gauss-Seidel算法和Newton算法,但是它更多地关注精度并且计算复杂度也比较大。为了降低复杂度,本文主要和Neumann级数展开算法比较。

基于大规模MIMO系统MMSE滤波矩阵的对称正定特性满足Barzilai-Borwein(BB)迭代算法的全局收敛性[8],本文将BB迭代技术应用于大规模MIMO系统的信号检测中,提出了BB迭代信号检测算法,它通过迭代技术避免了MMSE算法复杂的矩阵求逆问题;为了加快算法的收敛速度,本文进一步利用信道硬化特性优化了迭代初始解[15]。仿真结果表明,BB迭代检测算法能够大幅降低矩阵求逆运算带来的计算复杂度,并且获得精确的检测性能。

1 大规模MIMO系统模型

大规模MIMO系统模型如图1所示,该系统由部署N根天线的基站和K个单天线用户组成,所有用户在相同的时频资源向基站发送数据,通常设置N≫K。

图1 大规模MIMO系统Fig.1 Massive MIMO system

令s=[s1,s2,…,sK]T表示发射信号矢量,H∈CN×K表示复信道增益矩阵,H中元素是均值为0、方差为1的独立同分布复高斯随机变量,n=[n1,n2,…,nN]T表示均值为0、方差为σ2的复加性高斯白噪声。假设信道增益矩阵H已知,则基站端接收到的信号矢量y可以表示为

y=Hs+n

(1)

基站端多用户信号检测的目标是从接收信号矢量y中估计发射信号矢量s。对于上行大规模MIMO系统,MMSE线性检测算法可以实现接近ML的检测性能[20],其发射信号矢量s的接收估计值可以表示为

(2)

W=HHH+σ2IK

(3)

2 基于BB迭代的信号检测算法

2.1 BB迭代算法

BB迭代算法是Barzilai和Borwein提出的两点步长梯度法。不同于传统的最速下降法采用固定步长,它的独特之处是沿着最速下降方向选择合适的步长。该算法存储量和计算复杂度很小,当目标函数是凸二次函数时,Barzilai和Borwein证明BB迭代算法是R-超线性收敛的[21];Raydan证明BB迭代算法对n维严格凸二次函数具有全局收敛性[16-17],文献[18-19]进一步证明了二维严格凸二次函数的BB迭代算法有R-超线性收敛性和n维严格凸二次函数有R-线性收敛性。

对于K维线性方程，即

Ax=b

(4)

式中,A是K×KHermitian正定矩阵;x是K×1解向量;b是K×1测量向量。式(4)可以转换成最小化问题，即

(5)

而且,Φ(x)的梯度可以表示为

(6)

为了获得对解向量x的估计,设计BB迭代过程为

x(i+1)=x(i)-α(i)g(i)

(7)

式中,i表示迭代次数;α(i)表示常量,并且有

(8)

(9)

si-1=x(i)-x(i-1)

(10)

yi-1=g(i)-g(i-1)

(11)

2.2 基于BB迭代的大规模MIMO信号检测

引理1上行大规模MIMO信号检测,MMSE滤波矩阵W=G+σ2IK是Hermitian正定的。

证明在上行大规模MIMO系统中,考虑N≫K,信道矩阵H列满秩,方程Hq=0有唯一解,即q是K×1零向量,因此,对于任意K×1非零向量x,可得

(Hx)HHx=xH(HHH)x=xHGx>0

(12)

GH=(HHH)H=HHH=G

(13)

这表明格拉姆矩阵G=HHH是正定的,且矩阵G是Hermitian的,所以矩阵G是Hermitian正定的。而噪声方差σ2是正数,故MMSE滤波矩阵W=G+σ2IK也是Hermitian正定的。

证毕

基于引理1,可以利用BB迭代方法去检测大规模MIMO接收信号,实现对发射信号矢量的估计。考虑式(1)所示的线性方程,迭代过程设计为

(14)

(15)

α(i)是常量,可以表示为

(16)

(17)

(18)

ni-1=g(i)-g(i-1)

(19)

进一步地,详细描述BB迭代信号检测算法的流程。

MMSE滤波矩阵W,由式(3)计算得到;

初始化

2)g(0)=-b

4)i=0

5) Whileg(i)≠0

8)ni-1=g(i)-g(i-1)

11)i=i+1

12) end

2.3 迭代初始值的优化

初始值和系数矩阵的条件数会影响迭代的收敛速度[23],选择一个合适的初始值可以加快收敛速度,并且能获得更好的检测性能。因此,有必要对迭代初始值进行优化。

(20)

2.4 算法复杂度分析

终上,BB信号检测算法每次迭代需要进行K2+3K次乘法运算,因此其计算复杂度可以计算为(i-1)(K2+3K)。相比MMSE信号检测算法中仅W-1的计算复杂度已随用户数K呈立方增长,BB信号检测算法的计算复杂度大大降低了。

(21)

实际系统中,为了保证信号检测精度,Neumann级数展开算法的截短阶数通常很大才能获得接近MMSE信号检测的性能,这意味着算法的计算复杂度并无明显改善;而BB迭代检测算法不包含矩阵求逆运算,即使迭代次数很大,其计算复杂度依然很小,且算法结构很简单,非常适合应用于大规模MIMO系统。

3 仿真分析

考虑N×K=64×8和N×K=128×16两种典型的大规模MIMO系统,基带信号调制方式为64-QAM,传输信道为准静态瑞利衰落信道,图2对BB迭代算法的收敛性进行仿真分析,图3～图5对BB迭代算法、Neumann 级数展开算法以及MMSE算法的BER性能进行仿真分析。

图2 BB迭代算法信号检测的均方误差Fig.2 Mean square error of signal detection for the BB iterative algorithm

图3 不同检测算法的BER性能比较(N×K=64×8)Fig.3 BER perform comparison of each detection algorithm (N×K=64×8)

图4 不同检测算法的BER性能比较(N×K=128×16)Fig.4 BER Perform comparison of each detection algorithm (N×K=128×16)

图5 BB迭代检测算法初值优化前后性能比较(N×K=128×16)Fig.5 Performance comparison of BB iterative detection algorithm before and after initial value optimization (N×K=128×16)

在N×K=64×8的大规模MIMO系统中,当初始值为0时,图2递归地显示了BB迭代算法信号检测的均方误差,在迭代次数等于8时,均方误差减小到0,曲线表明BB迭代算法信号检测的均方误差严格单调收敛,并且收敛的速度还很快。

图3和图4比较了3种算法的BER性能,其中图3对应N×K=64×8的大规模MIMO系统,而图4对应N×K=128×16的大规模MIMO系统。从图3和图4可以看出,随着BB算法迭代次数和Neumann级数展开算法截短阶数的增加,信号检测性能不断提高;但是,截短阶数i=3的Neumann级数展开检测算法与MMSE信号检测算法相比,其性能损失超过了3 dB,并且其计算复杂度和MMSE信号检测计算复杂度相当。对于BB迭代信号检测算法,当迭代次数i=4时,其性能优于所有截短阶数的Neumann级数展开算法;而当迭代次数i=5时,其性能几乎接近MMSE信号检测算法。

图5给出了BB迭代检测算法在初始值优化前后的检测性能。可以看到,对初始值进行优化后,BB信号检测算法能够更快地收敛,并获得更优的检测性能。当迭代次数i=3,接收信噪比为10 dB时,经过初始值优化的BB迭代信号检测算法比优化前算法的性能高出约一个数量级,并且曲线收敛更快;在迭代次数i=5时,优化后的BB迭代检测算法能达到接近MMSE算法的检测性能,而优化前的算法相比MMSE算法还有一定性能差距。上述结果表明,经过初始值优化,BB迭代算法的检测性能获得了有效提高,且算法的收敛速度进一步加快了。

4 结束语

本文将高效低复杂度信号检测算法——BB迭代算法引入大规模MIMO系统的信号检测中,利用MMSE滤波矩阵的对称正定特性,通过迭代方法避免了复杂的矩阵求逆运算,将MMSE算法的复杂度从O(K3)降到了O(K2);随后利用信道硬化特性对算法的迭代初始值进行了优化,进一步加快了算法的收敛速度。理论和仿真结果表明,该算法无论在复杂度或是检测性能方面均优于最近提出的Neumann级数展开算法,并且收敛速度较快,通过少量的迭代即能够达到接近MMSE信号检测算法的性能。

本文所提出的算法结构简单且具有较好的移植性,可以扩展应用到无线通信的其他信号处理问题,例如应用于大规模MIMO系统的下行线性预编码领域。