基于RBF神经网络的磁屏蔽性能计算方法

吕志峰, 张金生, 王仕成, 李 婷

(火箭军工程大学精确制导与仿真实验室, 陕西 西安 710025)

0 引 言

对于高精度的地磁场测量,为了保证高精度磁测仪器的正常工作,必须消除附近铁磁性物体及电控设备产生的干扰磁场,这就需要建立近零磁环境。从国内外的研究成果来看,大部分的近零磁环境均以被动磁屏蔽为主,即采用磁导率较高的材料构建一个封闭的磁屏蔽装置,从而保证该装置内部空间的磁场接近“零磁”[1-6]。近年来,随着航空航天技术的不断发展,磁屏蔽装置在地磁导航、惯导系统等航空航天领域的应用越来越广泛[7-11],对高水平磁屏蔽装置的需求也在不断增加。文献[7]提出通过构建磁屏蔽装置以形成零磁空间来进行地磁导航的半实物仿真试验,从而提高地磁导航仿真的可信度。文献[8]基于小型的磁屏蔽装置,构建了一套高精度的地磁场模拟系统,并以此为基础,搭建了地磁导航半实物仿真系统,对地磁匹配算法进行了半实物仿真试验评估[9]。文献[10-11]分别将激光陀螺和核磁共振陀螺置于磁屏蔽装置内,通过对磁屏蔽装置进行优化设计,从而降低陀螺的漂移,提高导航精度。设计磁屏蔽装置的前提是磁屏蔽性能的精确计算,但是,磁屏蔽性能的理论计算作为磁屏蔽装置的关键技术之一,还未得到很好的解决[12-14]。

磁屏蔽性能的理论计算主要有解析法和数值法,其理论依据均为麦克斯韦方程。由于麦克斯韦方程求解复杂,运用经典的数学方法很难得到严格的解析表达式,只能通过磁路法或磁标位法推导出个别规则形状磁屏蔽装置(如球形或圆柱形)的磁屏蔽效能计算公式,且由于在推导过程中做了适当的简化和忽略,解析法的精度相对较低[15-21]。近年来,随着有限元计算方法和计算机硬件的发展,数值法开始应用于磁屏蔽性能的理论计算,虽然数值法的求解精度高,但是由于求解过程中涉及到庞大的矩阵求解,计算通常耗时费力[22-27]。在磁屏蔽装置设计过程中,常常将两种方法的优点结合使用[10,27],即先利用解析法计算简单的优点,通过快速的估算,从众多备选方案中筛选出屏蔽效能较好的一种或几种方案,然后再利用数值法计算精度高的优点,对筛选出来的这一种或几种方案进行有限元数值计算,通过对比验证从而确定最好的一种设计方案,即先“粗”筛选再“精”确定。目前来看,传统的解析法与数值法的求解相对误差为30%甚至更高[21,27],这也就是说解析法“粗”筛选存在很大的误差,在筛选中很有可能会把最好的方案剔除,即使后面采用的数值法精度再高,找的也是次优方案而不是最优。此外,有些规则形状(如矩形等)的磁屏蔽装置的磁屏蔽性能解析表达式不易推导,使得磁屏蔽装置在设计过程中无法进行“粗”筛选。因此,在磁屏蔽装置设计过程中,很有必要寻找一种计算简单且精度较高的磁屏蔽性能计算方法以代替传统的解析法。

针对这一问题,提出了基于径向基函数(radial basis function, RBF)神经网络的磁屏蔽性能计算方法,并通过仿真实验对计算方法的准确性进行验证,最终以简单快速的计算形式实现了接近数值法的求解精度,为工程上磁屏蔽性能的计算提供了一定的理论依据和参考价值。

1 磁屏蔽装置的磁屏蔽性能

磁屏蔽装置对磁场的屏蔽主要是利用磁屏蔽材料磁阻小而对磁路进行分流来实现的。当由高导磁率材料(如硅钢片、坡莫合金等)构成的屏蔽装置置于干扰磁场中时,屏蔽外壳会与其内部的空气介质构成一个并联磁路,由于空气的相对磁导率接近于1,而屏蔽外壳的相对磁导率能达到几千甚至上万,故空气的磁阻R0要比屏蔽外壳的磁阻Rm大得多,当外界存在干扰磁场时,绝大部分磁通量会沿着磁阻低的屏蔽壳通过,进入屏蔽体内腔的磁通量很少,从而达到屏蔽磁场的目的。其原理如图1所示。

磁屏蔽装置的磁屏蔽性能主要通过屏蔽系数或屏蔽效能来反映。假设屏蔽区的某点在未施加屏蔽措施时的磁感应强度为B0,施加屏蔽措施后的磁感应强度为B1,则屏蔽系数为

(1)

或者屏蔽效能为

(2)

图1 磁场屏蔽原理图Fig.1 Schematic diagram of magnetic shielding

为了计算方便,本文以磁屏蔽系数S作为评价指标来反映磁屏蔽装置的磁屏蔽性能。

2 基于RBF神经网络的磁屏蔽性能计算方法

2.1 RBF神经网络基本理论

RBF神经网络是一种3层前馈式神经网络,由输入层、隐含层和输出层构成,可以根据问题确定相应的网络拓扑结构,具有逼近精度高、网络规模小、学习速度快和不存在局部最小问题等优点[28]，其结构如图2所示。

图2 RBF神经网络结构Fig.2 RBF neural network structure

RBF神经网络中常用的径向基函数是高斯函数,故RBF神经网络的激活函数可表示为

(3)

式中,‖xp-ci‖为欧式范数;ci为高斯函数的中心;σ为高斯函数的方差。

由图2所示的RBF神经网络的结构可得到网络的输出为

(4)

由式(4)可以看出,RBF神经网络学习算法需要求解的参数有3个:基函数的中心、方差及隐含层到输出层的权值。通过使用训练数据对网络进行训练,从而对3个参数进行不断的调整,最终使得网络逼近所需要的非线性函数。

2.2 训练数据的获取

要想通过RBF神经网络对磁屏蔽装置的磁屏蔽系数进行拟合逼近,首先需要有足够的训练数据。大量研究文献已经表明,磁屏蔽系数与磁屏蔽装置的材料、形状及尺寸等因素密切相关[15-17,29-30],因此训练数据的输入应是与磁屏蔽装置相关的参数,输出则为这些参数所对应的磁屏蔽系数,这也就是说每获取一组训练数据都对应着一个固定结构的磁屏蔽装置,在现实中,要想获取足够的训练数据就要投入大量的人力、物力和财力去构造不同结构的磁屏蔽装置,这显然是不能接受的。

近年来,随着有限元计算方法和计算机硬件的发展,基于有限元的数值法已经广泛应用于电磁分析领域。有限元数值计算方法在计算过程中严格按照麦克斯韦微分方程进行求解,理论上计算精度高,从国内外研究成果看,其计算结果与实际系统吻合程度也较好[22-27],虽然其计算耗时相对较多,但是相比于建造不同结构的磁屏蔽装置,采用数值法获取训练数据无论是经济成本还是时间成本都要低很多,因此本文采用有限元数值法来获取RBF神经网络所需要的训练数据。

目前,世界上有多款电磁场有限元计算软件,其基本思想都是采用有限元将麦克斯韦微分方程进行离散化,将模型中的电磁场计算转变为矩阵求解。本文中数值计算采用的是Ansoft Maxwell软件,它不仅具备常规电磁场有限元计算软件的特点,还具有参数化建模的功能[31],该功能可以连续计算出不同参数情况下所对应的磁屏蔽系数,通过这种方式获取的训练数据更有助于RBF神经网络找到参数变化对磁屏蔽系数的影响规律。

2.3 计算模型的建立

鉴于现阶段磁屏蔽性能的理论计算存在的问题,为了以简单快速的计算形式实现更加接近数值法的求解精度,提出基于RBF神经网络的磁屏蔽性能理论计算方法:对于给定形状的磁屏蔽装置,首先确定影响磁屏蔽性能的参数,通常为磁屏蔽装置的相对磁导率及结构尺寸;由于有限元数值法计算耗时,为了尽可能在获取训练数据时减少计算量,通过控制变量法对影响磁屏蔽系数的独立参数进行分离并建模;对于不能分离的参数,以这些参数为输入量,利用Ansoft Maxwell参数化建模的功能,设定每个参数的变化步长,求得不同参数下所对应的磁屏蔽系数,从而获得训练数据,进而基于这些数据对RBF神经网络进行训练;对于步长的确定,总的原则就是:在保证RBF神经网络建模精度的前提下,步长尽可能地大,从而提高计算效率。如果训练得到的RBF神经网络模型精度不能满足要求,那么说明设定的步长太大,没有获取足够的训练数据,需要重新调整步长,最终通过步长的调节,得到计算精度较高的神经网络模块;最后,由于参数分离这一过程采用的是控制变量法,那么分离出来的独立参数模型与RBF神经网络模型是相乘的关系,直接采用相乘将训练好的网络模块与分离出来的独立变量模型进行结合,最终得到磁屏蔽装置的屏蔽系数计算模型。整个建模流程如图3所示。

图3 磁屏蔽系数计算流程图Fig.3 Flow chart of magnetic shielding factor calculation

由图3可知,模型的建立分两部分:独立参数建模和非独立参数建模。对于独立参数建模,由于其是独立参数,不与其他参数存在耦合,故模型较为简单,理论上建立的模型准确度高;对于非独立参数建模,由于其类似于黑箱问题,故利用RBF神经网络具有逼近精度高、网络规模小、学习速度快和不存在局部最小问题的优点,采用RBF神经网络进行建模,同时,在RBF神经网络建模过程中加入精度验证环节,以确保建立的网络模型精度足够高;最后,在两部分模型结合之后,再次加入精度验证环节,从而确保最终得到的磁屏蔽装置的屏蔽系数计算模型仍满足较高的精度。

3 仿真实验分析

目前,航空航天领域所用的磁屏蔽装置大部分都采用矩形形状,但是这种形状的磁屏蔽性能解析计算还未得到很好的解决[13],因此,本文就以矩形形状的磁屏蔽装置为例,采用本文提出的计算方法,对其磁屏蔽系数进行计算,通过与有限元数值法的计算结果进行对比来评价方法的好坏。

3.1 基于控制变量法的参数分离

对于矩形磁屏蔽装置而言,根据其长、宽、高及屏蔽层的厚度可以唯一确定装置的结构;对于屏蔽材料而言,影响磁屏蔽性能的决定性参数为材料的相对磁导率。因此,影响矩形磁屏蔽装置屏蔽性能的参数有5个,即:屏蔽材料的相对磁导率、屏蔽层的厚度、装置内部的长、宽、高。为了降低后续训练数据的维度,首先把多因素的问题变为多个单因素的问题,采用控制变量法的思想,将影响磁屏蔽性能的独立参数进行分离。本文利用Ansoft Maxwell软件进行数值仿真计算以获取分析数据。仿真中,初始化设定磁屏蔽装置内部空腔尺寸为40 mm×40 mm×40 mm,屏蔽材料厚度为t=1 mm,相对磁导率为μr=10 000,同时在坐标系Y轴方向放置两块平行的永磁体材料NdFe30,采用平行充磁的方式产生稳定的背景磁场,以矩形中心原点处的磁屏蔽系数作为度量磁屏蔽性能的指标,建立的三维计算模型如图4所示。

图4 矩形磁屏蔽装置三维计算模型Fig.4 Three dimensional calculation model of rectangular magnetic shielding device

3.1.1 材料相对磁导率对磁屏蔽性能的影响分析

改变材料的相对磁导率,使其由μr=10 000逐步变为μr=29 000,步长为1 000,其余4个参数保持不变,一共计算20组数据,计算结果如图5所示。

图5 材料相对磁导率与磁屏蔽系数关系Fig.5 Relationship between material relative permeability and magnetic shielding factor

从图5可以看出,材料相对磁导率与磁屏蔽系数具有良好的线性关系,定性地说明材料的相对磁导率为独立变量。为了从定量上说明这一参数是否为独立变量,将20组数据分为两组:前10组数据为一组,后10组数据为另一组。将两组数据进行最小二乘拟合,拟合结果为

S=0.021 33μr+0.885 7

(5)

S=0.021 33μr+0.896 6

(6)

对比式(5)和式(6)发现,对于不同的两组数据,其拟合结果的一次项系数均为0.021 33,说明系数不随μr的改变而改变;一次项后的常量分别为0.885 7和0.896 6,均较小,可以忽略不计。故从定量来说,S∝μr。综上所述,可以确定材料的相对磁导率μr为独立变量。

3.1.2 材料厚度对磁屏蔽性能的影响分析

改变材料的厚度,使其由t=0.1 mm逐步变为t=2.0 mm,步长为0.1 mm,其余4个参数保持不变,一共计算20组数据,计算结果如图6所示。

图6 材料厚度与磁屏蔽系数关系Fig.6 Relationship between material thickness and magnetic shielding factor

从图6可以看出,材料的厚度与磁屏蔽系数近似呈线性关系,定性上说明材料的厚度为独立变量。为了从定量上说明这一参数是否为独立变量,将20组数据分为两组:前10组数据为一组,后10组数据为另一组。将两组数据进行最小二乘拟合,拟合结果为

S=232.5t-0.872 1

(7)

S=229.7t+1.363 0

(8)

式中,厚度t的单位为mm。

对比式(7)和式(8)发现,对于不同的两组数据,其拟合结果的一次项系数分别为232.5和229.7,二者的相对误差仅为1.2%,可以理解为是数值计算过程中存在的正常误差,可看作近似相等,这说明系数不随厚度t的改变而改变;一次项后的常数分别为-0.872 1和1.363 0,均较小,可以忽略不计。故从定量来说,S∝t。综上所述,可以确定材料的厚度t为独立变量。

3.1.3 与磁场方向平行的边的长度对磁屏蔽性能的影响分析

图4所示的三维模型中,背景磁场沿Y轴方向,定义与磁场方向平行的边的长度为y。改变y的大小,使其从y=40 mm逐步变为y=192 mm,步长为8 mm,其余4个参数保持不变,一共计算20组数据,计算结果如图7所示。

图7 与磁场方向平行的边的长度与磁屏蔽系数关系Fig.7 Relationship between length of the side parallel to the magnetic field direction and magnetic shielding factor

观察图7所示的曲线,定性分析可知,其与幂函数y=a×xb(b<0)的形式相近。为了从定量上说明这一参数是否为独立变量,将20组数据分为两组:前10组数据为一组,后10组数据为另一组。将两组数据进行幂函数拟合,拟合结果为

S=616 8y-0.896 2

(9)

S=1 683 000y-2.085

(10)

式中,y的单位为mm。

对比式(9)和式(10)发现,对于不同的两组数据,其拟合结果相差很大,说明S=a×yb这种形式的关系中,a与b随着y的变化而变化,故与磁场方向平行的边的长度y不是独立变量。

3.1.4 与磁场方向垂直的边的长度对磁屏蔽性能的影响分析

矩形磁屏蔽装置中与磁场方向垂直的边沿两个方向,一种沿着X轴方向,另一种沿着Z轴方向,这里定义沿X轴方向的边的长度为x,沿Z轴方向的边的长度为z。改变x的大小,使其从x=40 mm逐步变为x=192 mm,步长为8 mm,其余4个参数保持不变,一共计算20组数据。同样,改变z的大小,使其从z=40 mm逐步变为z=192 mm,步长为8 mm,其余4个参数保持不变,一共计算20组数据。计算结果如图8所示。

图8 与磁场方向垂直的边的长度与磁屏蔽系数关系Fig.8 Relationship between length of the side perpendicular to the magnetic field direction and magnetic shielding factor

从图8可以看出,与磁场方向垂直的两个边的边长x和z与磁屏蔽系数无明确的解析函数关系,故这里把x和z归为非独立变量。

3.2 RBF神经网络的建模与验证

通过对每个变量进行分析可知,磁屏蔽装置的相对磁导率μr和厚度t与磁屏蔽系数呈正比关系,而磁屏蔽装置的3条边长x、y和z与磁屏蔽系数无明确的解析函数关系,故磁屏蔽系数可表示为

S=μrtf(x,y,z)

(11)

式中,f(x,y,z)表示x、y和z组成的非线性关系式。

由于f(x,y,z)的函数模型未知,故采用RBF神经网络对其进行建模。该模型的输入为参数x、y和z,输出为磁屏蔽系数S。采用Ansoft Maxwell软件进行数值仿真获取样本数据,每个输入参数的变化范围均为40～94 mm,变化步长为6 mm,样本数据一共1 000组。这里需要说明的是,如果不预先采用控制变量法对参数进行分离建模,那么输入参数则为5个,需要获取的样本数据就是105组,可见,对独立参数进行分离建模是十分必要的,可以大大减少获取样本数据的时间成本。

将1 000组样本数据分为两部分:随机抽取900组样本数据用于RBF神经网络的训练,剩余100组样本数据用于RBF神经网络的精度验证。验证结果如图9所示。

图9 RBF神经网络精度验证Fig.9 Accuracy verification of RBF neural network

从图9(a)可以看出,RBF神经网络拟合结果与数值计算得到的结果基本一致,对图9(b)中的数据进行统计:二者的最大相对误差为7.47%,95%的拟合结果与数值计算结果的相对误差在5%以内,从工程角度来说,RBF神经网络拟合结果与数值计算结果是一致的,这充分说明RBF神经网络模型对f(x,y,z)的逼近程度是很高的,工程上采用RBF神经网络对f(x,y,z)进行建模是切实可行的。

3.3 整体模型的建立与验证

通过第3.1节与第3.2节的分析,可以建立矩形磁屏蔽装置屏蔽系数计算模型为

(12)

式中,μr为材料的相对磁导率;t为材料厚度;net(x,y,z)是在相对磁导率为μ1、材料厚度为t1的情况下得到的RBF神经网络模块,x、y和z分别为装置的边长长度,其中y为与磁场方向平行的边的边长,x和z为与磁场方向垂直的边的边长。所建立的net(x,y,z)是在相对磁导率为μ1=10 000、材料厚度为t1=1 mm的情况下得到的RBF神经网络模块,即第3.2节中所建立的RBF神经网络模块。

为了检验整体模型是否正确,采用Ansoft Maxwell软件进行数值仿真获取验证数据,设定相对磁导率μr为10 500、15 500和20 500,材料厚度t为0.55 mm、1.05 mm和1.55mm,x、y和z均为50 mm、70 mm和90 mm,则得到的数值法计算结果一共有35=243组。同时,将以上参数代入式(12)中,得到模型拟合结果。将两种计算结果进行对比,结果如图10所示。

图10 计算模型精度验证Fig.10 Accuracy verification of computational mode

从图10(a)可以看出,计算模型的拟合结果与数值计算得到的结果基本一致,对图10(b)中的数据进行统计:二者的最大相对误差为10.3%,95%的拟合结果与数值计算结果的相对误差在8%以内,从工程角度来说,模型拟合结果与数值计算结果是一致的,这充分说明本文的建模方法是正确的,且建立的模型精度很高。由此可见,对于磁屏蔽性能的估算,只需要将其输入参数代入形如式(12)的模型中,就可以快速地计算出磁屏蔽系数,与传统解析法相比,其精度更加接近数值法的求解精度,更适用于工程估算。

4 结 论

针对现阶段磁屏蔽性能理论计算存在的不足,提出了基于RBF神经网络的磁屏蔽性能理论计算方法。该方法利用RBF神经网络能够逼近任意非线性函数的特点,能够对影响磁屏蔽性能的非独立参数进行很好地拟合,且只需采用数值法获取适当的训练数据即可实现,避免了磁屏蔽性能解析计算繁琐复杂的理论推导,极大简化了建模过程。通过对矩形磁屏蔽装置的磁屏蔽性能进行仿真,结果表明,所提出的基于RBF神经网络的磁屏蔽性能理论计算方法计算形式简单快速,与传统解析法相比,其精度更加接近数值法的求解精度,更适用于工程估算。该方法可以为磁屏蔽性能的理论计算提供一定的理论依据和参考价值。