巧用“对称美”，提高解题效率
2018-07-27浙江省慈溪市逍林中学宓武跃
浙江省慈溪市逍林中学 宓武跃
有位数学家说过：“数学具有至高的美，一种冷而严肃的美。”我们利用对称美指导解题，不仅可以提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维能力和提高学生的审美能力。在问题解决过程中，若能从应用数学审美的角度出发，审视问题结构的对称性，追求问题解决方案的简单性、新颖性，这对于诱发学生的求知欲，激发他们的学习兴趣，提高学习效率，培养创造性思维能力将起到重要作用。
一、对称美在高中数学中的应用欣赏
1.已知：△ABC的内切圆与外接圆的半径分比别为r和R，则r和R比值等于（ ）
【解析】 三角形的边a，b，c或角A，B，C对r和R的影响是相同的， r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重，因此在比值的表达式中，必有边a，b，c或角A，B，C的轮换对称，因此C是正确的。
2.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为________。
【解析】本题考查的是古典概型，我们可以将甲、乙、丙三人排序，共6种不同的情况，并且这6种情况是等可能的，其中甲排在乙前面的共有3种情况，因而概率为其实，我们看甲和乙这两个人，他们在这个事件中的地位是相同的，因而可以认为甲排在乙前面和乙排在甲前面的概率应该是相同的，而这两种情形构成了整个排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的概率都为
二、巧用对称美，解决最值问题
【解析】本题是基本不等式中的一个基本题型“和定积最大”，用基本不等式很容易解决：当且仅当时等号成立。我们也可以由等式得到于是本题可以转化为二次函数求值域题型，即在区间上的最大值，此处不加赘述。如果作为填空题，我们不妨仔细观察a+b=1这个等式，如果将a换成b，或将b换成a，等式并没有发生变化，所求量ab也没有发生变化，即本题中我们可以认为，a和b的地位是相同的，即本文所指的它们是广义的对称关系。既然地位相等，那么显然出题者不能对a和b中的任何一个有所偏袒，因而它们应该相等，即
【解析】由题意AD=2c竖直放置，BC=2水平放置，AB+BD可以看成总长为2a的线段，AC+CD也可以看成总长为2a的线段，水平棒BC两端分别在两条线段上，且使线段绷直，水平棒上下移动，构
成三棱锥。那么棒BC是靠向点D体积大，还是靠向点A体积大？根据对称性知：谁也不偏袒，刚好处于中间时，体积最大。此时AB=BD=AC=CD=a，体积最大值易求。
三、巧用对称美，解决定点（值）问题
（1）求椭圆E的方程。
【解析】 本题第二小题应用对称性得出定点在x轴上，是解决本题的关键。有些数学问题可以根据其对称性先预测结果，再进行证明达到事半功倍的效果。
（1） 略。
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），
所以m≠0且Δ=0，
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），
所以m≠0且Δ=0，
即64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化简得4k2-m2+3=0。（＊）
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。
爱美之心，人皆有之。数学中不缺少美，而是缺少能发现美的眼睛。有些数学问题若用对称的眼光去观察、审视， 合理利用对称美，往往能诱发解题灵感，简化解题过程，提高效率。
