浅谈数学猜想在教学中的价值

罗晓雪

摘 要：数学猜想是根据某些已知的事实材料和数学知识，以已有的数学理论和方法为指导，对某些特定的数学对象及其关系作出的一种猜测性的论断。数学猜想是数学研究常用的一种方法，又是数學发展的一种重要形式。

关键词：数学猜想；学生学习；教师教学；价值

《普通高中数学课程标准》中要求：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”同时提出：“数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”本文就谈谈数学猜想对学生学习和教师教学的价值。

一、有利于提高学生分析问题、解决问题的能力

学习数学的正确途径是实现学生的“再创造”，也就是学生本人把要学的东西自己“发现”或“创造”出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种创造性活动。因此在教学过程中，要实现学生的“再创造”，就必须重视数学猜想法，引导学生通过联想、类比、归纳等方法，对待解问题的思路进行大胆探索、猜想，从而迅速获得最佳解题方案。

例，求

这里我们发现直接开方求解比较困难，但这时我们可以提醒学生注意到这里的n是个一般的自然数，因此可以让n从小变大，并注意到要开方，就与因数分解有关，观察11-2=32，1111-22=332，依此类推，学生就很容易猜想到，通过这样的猜想，这道题便很容易求解了。学生最后可得出

从上面的例子我们可以看出，猜想这种思维方式在数学学习中具有强大的作用，学生收获的不仅是该题的解决方法，而且还学到了解决这一类型问题的方法。因此教师要不失时机地培养学生这种思维能力，这样有利于提高学生分析数学问题、解决数学问题的能力。

二、有利于培养学生的创造性思维

在数学学习中，猜想作为一种手段，目的是为了验证猜想是否正确，从而使学生积极参与学习的过程，使学生主动地获取知识，培养学生的创造性思维。

对于我们所熟悉的勾股定理：“在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。”从不同角度来理解此定理，并沿不同方向将其一般化，提出猜想并证明其正确的派生命题至少有以下几个：

（1）余弦定理（将直角三角形推广到一般三角形）。

（2）托勒密定理（两全等直角三角形可构成长方形，也可将长方形推广到圆内切四边形）。

（3）平行四边形两对角线平方和等于其四边平方和（由矩形推广到平行四边形）。

（4）分别以直角三角形三边a、b、c为一边，向外作三相似形，其面积分别为Sa、Sb、Sc，则Sa+Sb=Sc（由三个正方形推广到任意三个相似形）。

（5）在任意n维空间，向量的长度为：（由二维平面推广到n维空间）。

（6）直角四面体勾股定理：在四面体O—ABC中，O—ABC是直三面角，与O、A、B、C之顶点相对的三角形面积分别为：SO、Sa、Sb、Sc，则SO2=Sa2+Sb2+Sc2。

从这个例子我们看到，将已知命题一般化提出猜想，常可得到新定理，这时学习一个定理已不仅仅局限于一个命题而可能得到一个命题群。这种思维是开放的，思维结果具有创新性，这正是创造性思维的特点，学生也能从这种猜想中培养自己的创造性思维。

三、有利于教师培养学生的数学学习兴趣

猜想最常运用于对新知识的探索起步阶段，因为这个阶段的猜想可以激活学生的思维，有利于架起已知与未知的桥梁，更有利于学生积极主动培养自己的猜想意识，也是教师培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端。学生的合理猜想中融合了直觉思维、联想等要素，是较复杂的思维过程，让学生根据已有的知识或直觉进行猜想，既能调动学生的各种思维能力，在猜想的过程中更好地获取知识，又能展现他们的创新才智，提高他们的数学学习兴趣。

例如高中课程中关于立方和公式的猜想，求13+23+33+…+n3的和。

分析：该数列既不是等差数列，也不是等比数列，因此学生对这种求和没有头绪，认为该题很难。这时老师可以提醒学生用猜想的方法，先写出两个数和三个数的和，如：

13+23=1+8=9=32=（1+2）2

13+23+33=1+8+27=36=62=（1+2+3）2

这时引导学生观察这两个式子的规律，而后鼓励学生再写出四个数和五个数的式子，总结出一般规律猜想出n个数的和。学生此时就有了头绪，接着就想到：

13+23+33+43=1+8+27+64=100=102=（1+2+3+4）2

13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=152=（1+2+3+4+5）2

……

最后猜想出13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=。

学生猜想完后，老师给予严格的证明，证明这个式子是正确的。此时，学生从猜想中得到式子13+23+33+…+n3的和，而且发现这个复杂的式子的和并没有想象中的复杂，自己也能得出来，心理上得到极大的满足，同时也增强了自信心，对数学产生浓厚的学习兴趣。

因此，正确地引导学生进行适当的数学猜想，不仅可以锻炼学生的数学思维能力，也能激发学生的数学学习兴趣。对于教师的教学来说，在创设问题情境这一环节加入符合本节课内容的猜想，能起到一个很好的引入作用，让学生对本节课充满期待，更有兴趣学习本节课内容。

编辑 郭小琴