函数极限定义的教学艺术

摘 要：本文用直观艺术的方法探讨函数极限的定义教学方法，针对深奥的定义给出了浅显易懂的教学方法。

关键词：函数极限;直观描述;数形结合

函数极限的定义是微积分的基础，极限作为一个工具在后面学习导数积分级数等起到非常重要的作用，是高等数学中最重要也是最基本的内容之一，因此极限的教学效果起着高等数学学习至关重要的作用。而很多大学新生在刚刚接触极限理论这一块的时候往往会感到困难，和中学的数学思想有很大的差异，一时间很难真正理解极限的思想，对于极限定义认识模糊，不理解其定义的精髓，从而用定义证明一些函数极限的时候往往也很难下手。

导致这种情况的主要原因：一方面，大多数学生停留在中学数学的思维上，短时间很难转换到大学数学的思维上来;另一方面，大多数微积分方面的教材在刚开始引入极限理论的时候往往过多地强调理论使得学生很难形成直观的认识。要克服这些教学难点，在教学中就要使用一些艺术的方法使得学生能够更直观、更直接地认识函数极限的定义。本文在分析教学难点的基础上，引导学生正确理解函数极限的定义，用数形结合、直观描述等方法，引导学生通过观察、归纳、总结得出函数极限的定义，并用此定义能够证明函数极限。

1 认识无穷小

讲授函数极限的定义必须涉及无穷小的认识，无穷小是比一切小的正数都要小的正数，对于这个认识可以通过一个具体的实例来认识什么是无穷小。

从这个例子可以看出比所有的正数小，那么只能对于0，这个对于一切的代表了一切正数，包括一切的很大的正数即无穷大那部分，也包括了一切小的正数即无穷小的正数，而这里比所有的正数都要小的正数指的是一切小的正数，即无穷小。从这个例子看出无穷小指的是比一切小的正数都要小的正数。

2 数形结合理解函数极限的定义

在讲授函数极限的定义之前，先有目的举一些例子，使学生通过图形对极限有了初步的认识。下面列举一些简单的有代表性的函数研究其变化趋势。

通过图形考察当x无限增大时，即时的变化趋势，可以很容易地看到有如下结论：

通过数形结合激发学生的兴趣，使学生感受数学的美，把数学看作一门艺术观察引导使学生对极限的概念有初步的认识，并且让学生知道直观描述极限的定义便于理解什么是函数的极限。

3 直观描述函数极限的定义

通过上面的例子我们来考察当对于一切的时，极限为A的定义，即x当无限增大时，无限趋近于A，由于学生已经学过数列极限的定义，对无限小以及无限趋近已经有了一定的理解，根据函数极限的定义方法及上面几个例子的直观描绘，学生可以很容易地得出，x当无限趋近于x0时，无限趋近于A，即为无论取多么小的正数当x无限的接近于x0时，即x在x0的一个小邻域时，总有与A的距离比ε还小。从而自然地给出当时，极限为A的定义，即：

这样从具体的例子开始的方式可以吸引学生的注意力，容易使学生形成直观印象，并引发想象，为函数极限定义做好了必要的思想准备，再通过直观到抽象，由特殊到一般，自然地给出函数极限的定义，避免了很多教科书一开始就给出极限的定义的情况，使学生对极限的定义有全面的理解和掌握。

4 通过实例用极限的定义证明函数极限

为了加深对概念的理解，通过一些例子可以让学生对所学知识达到巩固提高的目的。另外，上例中的结论都是通过直观给出的结论，而这些结论都可以通过函数极限的定义给出严格的证明，这样也消除了学生心中的疑虑。

通过上述例题的证明使学生加深了对极限概念的理解，认识了无穷小，理解了函数极限的定义，并且通过实例掌握了用定义证明函数极限的一般方法，将一开始举的例子由直观给出的结论给出了严格的证明，进一步巩固了所学的知识，有助于加深对极限定义的理解，为以后的高等数学的学习打下良好的基础。

参考文献：

[1] 陈永龙.浅谈数列极限的定义的教学[J].扬州教育学院学报，2005，23（3）：51-53.

[2] 何文阁，纪洪财.对函数极限概念教学的探讨[J].吉林农业科技学院学报，2005，14（2）：47-49.

[3] 王亚华.极限入门教学注记[J].郧阳师范高等专科学校学报，2006，26（6）：31-33.

作者简介：郭家勇（1973—），江苏连云港人，硕士，讲师，连云港师范高等专科学校数学系副教授，主要從事函数论、代数表示论研究。