借力思维导图 让学生学会有效思维策略分析——以一道向量数量积问题的讲解为例

江苏

张 慧

(作者单位：江苏省南京市第十三中学)

借力思维导图 让学生学会有效思维策略分析
——以一道向量数量积问题的讲解为例

江苏

张 慧

“导航仪”在我们的生活中起着越来越重要的作用.只要输入起点和终点，它就可以提供不止一条的道路，我们可以从中选择出最优的出行方案.笔者认为，“思维导图”这一思维工具在提升学生数学思维方面与“导航仪”有着异曲同工之妙.我们在教学的过程中可以借助思维导图，帮助学生实现数学思维策略的“从0到1”，“从1到N”，“从N到优”三个层次的进阶.笔者结合平时的教学案例，谈谈对这一点的理解.

一、课例及其部分课堂实录

这是我校高三月考的一道填空题，班级共51名同学，其中18人做错.试卷发下后，笔者让学生写了错因分析，大致可以分为几种：(1)条件“G是△ABC的重心”不会转化;(2)题目中的三个条件不知道怎样联系起来使用;(3)想到用“基底法”求数量积，但找不到合适的基底向量;(4)想到“坐标法”求数量积，不知道怎样建系来表示坐标.笔者借助“思维导图”对这道题的讲解分成三部分：(1)题目条件和结论的单独联想；(2)条件与条件、条件与结论的组合联想；(3)几种解题策略的优化联想.通过这种方式来解决学生以上的困惑.

1.以单个条件、结论为“中心导航”展开联想，为思维策略的“从0到1”做储备.

师：当你看到“G是△ABC的重心”这一条件时你能联想到哪些转化？(学生在回答时教师用导图形式呈现.)

生：

师：当看到“GA⊥GB”这一条件时同学们能联想到哪些转化？

生：

生：

2.以条件与条件、条件与结论为“组合导航”展开联想，实现思维策略的“从0到1，再从1到N”.

策略一：从条件出发，将条件和条件组合联想,尝试得到新的结论.

组合一：

策略二：从结论出发，将条件和结论组合联想,找到条件的转化方向.

组合二：

组合三：

组合四：

3.以各种组合整体为“比较导航”展开联想，实现思维策略“从N到优”.

生1：对比组合一和组合四，同样是基底法，组合一是转化成了两个已知长度的向量，组合四是转化成了三个共起点的向量，运算量不一样，显然组合一的方法要简单些.

生2：对比组合二和组合三两种方案，同样是坐标法，组合二围绕“直角”建系更简洁.

师：方法提炼

二、教学感悟

爱因斯坦曾说：“结论几乎总是以完成的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也很难达到清楚地理解全部情况.”数学老师应该将各种思路动态形成过程呈现给学生，使在解决问题中遇到困难的同学知道如何突破自己的思维障碍；使已解决问题的同学在了解几种不同的思维角度后，优化思维策略，提升思维品质.思维导图作为一种可视化的思考工具，将学生思维中不可言说的部分内容图形化、示意化、可理解化，让学生的思考从朦胧走向清晰.学生主动建构出解决问题的方法，体验发现的喜悦，提升成就感.

1.借力思维导图，展开知识“点”联想，力求丰富完整，提升学生的发散思维能力.

思维导图是一种将放射性思维具体化的方法，它的放射性结构恰好反映了大脑自然思考问题的解决过程.我们在平时教学中要注重教会学生对一些关键条件展开逐层联想的方法，如：“GA⊥GB”这一条件的第一层联想：分别在三角形、向量、解析几何中都涉及角的研究.第二层联想：三角形中直角让我们联想到直角三角形的有关性质；向量中直角让我们联想到数量积为0；解析几何中直角让我们联想到斜率乘积为-1等.平时在对解题方法进行联想时也要尽可能全面：比如求y=sinx+cosx+sinxcosx的最值，对求“最值”这一关键词的联想我们应想到求导、基本不等式、换元等，其中，有些方法可以解决这个问题，有些不能，所以学生有时还需要做提炼、筛选工作.这样做虽然比较麻烦，但是可以使学生对解决一类问题的不同方法进行比较，并加深方法的记忆及掌握不同方法使用的范围和所需条件.

2.借力思维导图，展开组合“线”联想，力求组合的多样性，提升学生逻辑推理能力.

现代认知心理学认为，任何一个问题都可以分为三种状态，即初态、终态和中间态.初态是解题的已知条件，终态是解题所要达到的终极目标.解题实质上就是使问题从初态顺利地到达终态的过程.一方面我们可以通过罗列已知条件，利用对条件的逐层联想进一步寻找各种条件的已知关联，步步推进最终实现解题思路的导通；另一方面我们可以罗列解决这类问题的几种一般的方法，将方法和条件进行组合联想，明确条件的转化方向，从而更快地推进问题求解的探索过程.通过对推理过程的合理表述可提升学生数学思维的逻辑性、流畅性.

3.借力思维导图，逐步建构知识体系“面”，获得“可叠加”的进步，提升思维完整性及全面性.

(作者单位：江苏省南京市第十三中学)