含参导数综合题分类讨论的标准探究

陕西

刘再平

(作者单位：陕西省汉中市镇巴中学)

含参导数综合题分类讨论的标准探究

陕西

刘再平

查阅近十年的全国卷高考数学压轴题，不难发现34道题中有32道都是函数与导数综合题，函数与导数综合问题是高考压轴题的主角，也是高三数学复习备考教学的重中之重，更是高三学子想在高考中获得优异成绩必须逾越的一座大山. 然而，函数与导数问题常与参数融合在一起命制，不仅考查学生对函数知识的掌握程度，而且还对分类讨论思想有很高的要求，学生很难做到分类不重不漏，并且恰到好处，究其原因是学生不理解分类讨论的标准.鉴于此，下文将结合实例谈谈函数与导数含参综合题的分类讨论标准与方法.

一、以参数的正负性为标准分类

【例1】(2017·全国卷Ⅰ文·21节选)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的单调性．

【分类思路】对函数f(x)求导分解因式后f′(x)=(2ex+a)(ex-a)，很显然导数的两个因式正负性不确定，由于ex>0恒成立，所以a的正负性决定了导数的两个因式的正负性，从而直接影响着导数的正负性，所以分类讨论的标准比较清楚：①a>0,②a=0,③a<0.

二、以根的大小比较为标准分类讨论

对函数求导后解导数等于零的一元二次方程时，当方程的两个根大小不确定时，我们需要以根的大小比较为标准进行分类讨论.

【例2】讨论函数f(x)=x3+3ax2-9a2x+12的单调性.

【分类思路】求导f′(x)=3(x+3a)(x-a)，令f′(x)=0，解得两根为x1=a,x2=-3a，然而下一步在探求函数的单调区间时，不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集不明确，原因是两根x1=a,x2=-3a的大小不清楚，分析至此分类讨论的标准便自然产生：①x1=x2,②x1>x2,③x1

解：对函数f(x)求导得f′(x)=3x2+6ax-9a2=3(x+3a)(x-a)，令f′(x)=0，解得两根为x1=a,x2=-3a.①当x1=x2时，即a=0，f′(x)=3x2≥0恒成立，所以此时函数f(x)是R上的增函数；②当x1>x2时，即a>0，令f′(x)>0，即3(x+3a)·(x-a)>0，解得{x|x<-3a或x>a};f′(x)<0，即3(x+3a)(x-a)<0，解得{x|-3a0，即3(x+3a)·(x-a)>0，解得{x|x-3a}，f′(x)<0，即3(x+3a)(x-a)<0，解得{x|a

【点评】导数等于零的方程f′(x)=0能解出两根时，若两根含参，且大小不定时，我们就以根的大小为标准进行分类讨论.

三、以判别式为标准分类讨论

导数等于零的一元二次方程如果根的存在情况不明确时，常常以判别式为标准进行分类讨论.

【例3】讨论函数f(x)=x3+ax2+x+1的单调性.

【分类思路】求导f′(x)=3x2+2ax+1，令f′(x)=0，即得方程3x2+2ax+1=0，然而该一元二次方程的根是否存在并不确定，于是不难获得其分类讨论的标准：①Δ≤0,②Δ>0.

四、以“点动”为标准分类讨论

【例4】讨论函数f(x)=(x-k)ex在[0，1]上的最小值.

【分类思路】求导f′(x)=(x-k+1)ex，令f′(x)=0，解得x=k-1，然而由于x=k-1含有参数k，所以它是动态的，由于区间[0,1]是固定的，那么动点x=k-1在定区间的左边、内部还是右边呢？即分类讨论的标准为：①k-1≤0,②0

解：对函数f(x)求导得f′(x)=(x-k+1)ex，令f′(x)=0，解得x=k-1.①当k-1≤0，即k≤1时，此时函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以函数f(x)min=f(0)=-k；②当0

【点评】以“点动”为分类讨论标准的前提是区间必须是固定不动的.

五、以“区间动”为标准分类讨论

【例5】讨论函数f(x)=xlnx在[t，t+2](t>0)上的最小值.

【点评】以“区间动”为分类讨论标准的前提是点必须是固定不动的.

六、综合运用多次分类

有时含参函数与导数综合题的分类讨论标准不唯一，需要经历两重或多重分类讨论，分类讨论的类别也比较烦琐，这时候往往需要理解不同的分类讨论标准，做到心中有数，逻辑清楚.

【例6】讨论函数f(x)=lnx+a(x2-3x+2)的极值点个数.

(作者单位：陕西省汉中市镇巴中学)