注重解后反思 寻求最优解法——一道极坐标和参数方程题的多种解法

山东

王希红

(作者单位：山东省聊城市东阿县实验高中)

注重解后反思 寻求最优解法
——一道极坐标和参数方程题的多种解法

山东

王希红

当我们解完一道题目后，认真分析、仔细揣摩，联系涉及的知识要点和所采用的方法，及时反思总结，深刻领会解题方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力.极坐标与参数方程作为全国高考中一道二选一的选做题，通常是学生首选的一道题，因此教师要对高考中常考的知识点与解题方法进行深入的研究，在高考备考中潜移默化地让学生理解极坐标与参数方程的本质，使学生领悟其解题方法，从而达到熟练应用的目的.现以一综合题为例，利用多种方法，体会直线参数方程的灵活应用.

【知识要点点拨】直线的参数方程

(1)当a2+b2=1且b>0时，直线参数方程为标准式，所以t有明确的几何意义，即|t|=|M0M|；

(1)写出直线l的一般方程及圆C的标准方程；

(2)设P(-1,1),直线l和圆C相交于A，B两点，求||PA|-|PB||的值.

解：(1)直线l的一般方程为x-2y+3=0，圆C的标准方程为x2+y2=4.

(2)易知点P(-1,1)在直线l上，且在圆内.

反思：直线l的参数方程为一般式，可以化为直线参数方程标准式，利用参数绝对值的几何意义来做，计算量比较小.

得5t2+8t+1=0，Δ=82-4×5=44>0,

反思：直线参数方程的一般式中虽然t没有具体的几何意义，但可以代入圆的普通方程解出t的具体值，然后利用两点间的距离公式代入，也可求出.

反思：解法二中的t也可以不解出，利用韦达定理表示出两根的关系，然后用两点间的距离公式求线段长度，为了去绝对值要判断(tA+1)·(tB+1)的符号，这点小技巧，不容小觑.

反思：把极坐标方程，参数方程都化为直角坐标方程，联立直线与圆的普通方程解出A,B两点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解.这种解法是学生最熟悉的方法，但是计算量比较大，并且最后线段长度的计算式展开后为无理根式，若不会配完全平方公式，结果就无法最简.

反思：此法也是转为直角坐标方程，但是并没解A,B两点的坐标，而是充分利用数形结合，用圆心到直线的距离，设弦AB的中点为D,连接OD，利用勾股定理求得|DP|，结合图象可知||PA|-|PB||=2|DP|，从而求得.灵活性强，思维度高.

【思路方法总结】极坐标与参数方程问题一般的解题思路：若方程几何意义不明显，一般把极坐标方程，参数方程都化为直角坐标方程,用普通方程的方法解决；若方程的几何意义明显，用参数方程和极坐标方程比较简单.

【高考命题视点】近几年极坐标与参数方程的考题难度逐年加大，考查逐渐向方程几何意义靠拢，化为普通方程做计算量大，思维的难度也大，切实体现了极坐标与参数方程的优越性.

(1)写出直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程；

(1)求圆C的直角坐标方程;

(2)若点P(1,1)，设圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的最小值.

解：(1)圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.

(2)易知点P(1,1)在直线l上，且在圆内.

得t2+2(sinα-cosα)t-2=0，Δ=4(sinα-cosα)2+8>0,

设t1,t2是方程的两个根，则t1+t2=-2(sinα-cosα)，t1·t2=-2,

解法二：点P(1,1)在直线l上，且在圆内.|PA|+|PB|=|AB|, 求|PA|+|PB|的最小值可转化为圆心到直线l的距离最长时，求弦长|AB|.

化普通方程为xsinα-ycosα+cosα-sinα=0,

(x-2)2+y2=4的圆心为点(2，0)，到直线l的距离是

(作者单位：山东省聊城市东阿县实验高中)