数学极值法在圆周运动模型中的应用例析

2018-07-20广东任富华

教学考试(高考物理) 2018年4期

广东任富华

一、往年模拟试题例析

【例题1】(2016年广东佛山顺德适应性考试物理试题第4题)如图1所示，内壁光滑质量为m的管形圆轨道，竖直放置在光滑水平地面上，恰好处在两固定光滑挡板M、N之间，圆轨道半径为R；质量为m的小球能在管内运动，小球可视为质点，管的内径忽略不计。当小球运动到轨道最高点时，圆轨道对地面的压力刚好为零，下列判断正确的是

( )

图1

A．圆轨道对地面的最大压力大小为8mg

B．圆轨道对挡板M、N的压力总为零

D．当小球离挡板N最近时，圆轨对挡板N的压力大小为5mg

【答案】A

【例题2】[宁夏银川一中2017届高三考前适应性训练(一)物理试题第7题]如图2所示，内壁光滑的圆管形轨道放在光滑水平地面上，且恰好处在两固定光滑的挡板M、N之间，圆轨道半径为R，其质量为2m，一质量为m的小球能在管内运动，小球可视为质点，管的内径不计，当小球运动到最高点时，圆轨道对地面的压力刚好为零，则下列判断正确的是

( )

图2

B．圆轨道对地面的最大压力大小为10mg

C．当小球离挡板N最近时，圆轨对挡板N的压力大小为5mg

D．圆轨道对挡板M、N的压力总为零

【答案】BC

以上两个例题用的是同一个物理模型，考查的知识点也是一样的。

【例题1解析】小球经过最高点时圆轨道对地面的压力为零，可知小球对圆轨道的作用力等于圆轨道受到的重力，由牛顿第三定律和牛顿第二定律可知：

小球从最高点运动到离挡板N最近时，由机械能守恒定律有：

圆轨道对小球的作用力提供小球的向心力，有：

由①②③三式解得圆轨道对挡板N的压力：

N1′=N1=4mg

小球从最高点运动到最低点，由机械能守恒有：

小球在最低点，合外力提供向心力，有：

解得小球在最低点对圆轨道的压力：N2′=N2=7mg

所以圆轨道对地面的压力：N3=N2′+mg=8mg。

例题2与例题1解法相同，在此不再赘述。

二、分析模型，提出问题

由于以上物理模型能较好地考查学生的综合能力，利用网络搜索不难发现，不少学校都用了这个物理模型，或直接引用，或修改了已知条件。学生解题时，关注的是用什么样的物理定律、定理和方法，对物理模型本身的合理性不会质疑。物理教师解题或编题时，不仅要知道解题的方法，更要关注物理模型本身的合理性。物理模型往往是理想化的，但并不是空想而来、随意捏造，而是对实际问题的抽象，它必须符合物理规律，可以被人们的思维所接受。

就以上物理模型，可以进行这样问答式的定性辨析：小球过圆轨道最高点时，圆轨道为何会对地面的压力刚好为零？因为小球对圆轨道竖直向上的作用力等于圆轨道受到的重力；小球的位置不是在圆轨道最高点时，可不可以使圆轨道对地面的压力刚好为零？可以，小球给圆轨道斜向上的作用力，当此力在竖直方向的分力等于圆轨道受到的重力时，圆轨道对地面的压力为零，如图3所示；小球从A向B运动过程中，速度大小怎么变化？向心力大小怎么变？小球的速度减小，小球的向心力变小；小球对轨道的弹力大小怎么变化？从A到B，分析小球，设圆轨道对小球的作用力为F，由牛顿第二定律可知：F+mgcosθ=F向，F向减小，mgcosθ增大，故F一定减小，由牛顿第三定律可知F′一定减小；小球对圆轨道作用力的竖直分力怎么变？小球对圆轨道的竖直分力就是图3中Fy，Fy=F′cosθ，小球从A到B的运动过程中，F′在减小，cosθ在增大，故不能直接判断竖直分力Fy怎么变化。

图3

通过以上辨析可知，小球对圆轨道的竖直分力最大值不一定在最高点。若在最高点之前的某个位置出现最大值，题目中“当小球运动到最高点时，圆轨道对地面的压力刚好为零”就是一个错误的设定，实际上小球在达到最高点之前，小球对圆轨道的竖直分力已经大于了圆轨道受到的重力，圆轨道离开了地面。那么，到底是不是在小球经过最高点时出现最大的竖直分力呢？若不是在最高点出现最大的竖直分力，又是在什么位置？要解决以上问题，需要利用数学极值法定量研究。