探究竖直面内的圆周运动规律——以“轻绳约束”类型为例

陕西 杨明时

在一轮复习的训练题中，关于圆周运动和机械能守恒定律，有一道分析绳拉小球在竖直面运动的题：如图1所示，长为R的不可伸长的细绳一端固定于O点，另一端悬挂一质量为m的可视为质点的小球，在最低点，小球速度为v1,方向水平向左，分析小球能上升的最大高度H。

图1

原题给出了具体数据，学生很快解出了最大高度H。

一、理论探究

1.当小球的初速度时

实验结果告诉我们：当小球的初速度较小时，小球将在不高于与圆心等高的圆弧上往复运动。

图2

图3

2.当小球的初速度时

可分两种情况讨论：

(1)小球可以做完整的圆周运动

当小球通过最高点后，由于其高度降低，重力势能减小，动能增大，重力沿半径方向的分量减小，重力沿半径方向的分量不足以提供小球做圆周运动的向心力，所以细绳中的张力不为0，细绳处于伸直状态，小球做圆周运动。

图4

(2)小球在某一位置脱离圆轨道

图5

(3)小球脱离圆轨道之后的运动

如图6所示，以E点为坐标原点，沿水平向右为x轴正方向，沿竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。则

圆心坐标为(Rcosθ，-Rsinθ)

图6

设细绳再次被拉直时位于Q点，设Q点坐标为(x,y),Q点小球速度为vQ，则由两点之间的距离公式可得

R2=(x-Rcosθ)2+(-y-Rsinθ)2②

从A到Q点的过程，根据机械能守恒定律列式

由①②③④⑤⑥解得

3.结论归纳

综上所述，可以得到如下结论：

图7 图8

二、结论推广

“轻绳约束”类型的物体在竖直面内做圆周运动的受力特点是：物体受大小和方向恒定的重力G,可能受指向圆心的细绳的弹力，弹力的大小可根据需要变化。轨迹特点是：物体到圆心的距离小于或等于半径。

因此当物体只受到大小和方向恒定的外力F及沿半径指向圆心的变力F1，在外力F和变力F1共同决定的平面内运动时，如果物体距圆心的最大距离为R不变,则物体的运动规律仍然可以用上述分析方法解决。

例如:如图9所示,内壁光滑的竖直圆轨道内有一小球，在最低点其速度水平向左，大小为v1，试分析小球能到达的最大高度。

图9