奇异随机微分方程的依分布几乎自守解

2018-07-19蒋慧杰

吉林大学学报（理学版） 2018年4期

常晶, 赵昕, 蒋慧杰

(吉林农业大学信息技术学院, 长春 130118)

随机微分方程的几乎自守解在力学、物理、统计学和生物数学等领域应用广泛. 几乎自守函数是几乎周期函数的推广, 由于几乎自守现象在符号动力系统中表现出某种复杂性和混沌现象, 因此得到广泛关注. 付苗苗等[1]首先引入了几乎自守过程, 此后关于随机微分方程几乎自守解的研究得到深入发展[2-3]. 但关于依分布几乎自守解的研究目前文献报道较少, 文献[4-6]得到了随机微分方程的依分布几乎自守解; 陈锋等[7]得到了依状态切换的随机微分方程的几乎自守解. 奇异线性系统在网络理论等领域应用广泛[8-9]. Diagana等[10]研究了奇异随机微分方程均方意义下的几乎周期解. 本文利用文献[10-11]中块对角化的技巧, 考虑奇异随机微分方程依分布意义下的几乎自守解.

1 预备知识

设(H,‖·‖) 是可分的Hilbert空间,W(t)为定义在概率空间(Ω,F,P,(Ft)t≥0)上的布朗运动, 其中Ft=σ(W(u)-W(v)|u,v≤t),L2(Ω,H )为所有H值随机变量x组成的空间, 且

设(U,‖·‖U)为可分的Hilbert空间,L(U,H )是从U到H的所有有界线性算子空间.

定义1[7]对于随机过程x(t):→L2(P,H ), 如果对所有的s∈, 有

定义2[7]对于L2-连续随机过程x(t):→L2(P,H ), 如果对于序列⊂, 存在一个子列sn⊂和一个随机过程y(t):→L2(P,H ), 使得

对所有的t∈都成立, 则称x(t)是二阶矩意义下几乎自守的.

定义3[7]对于一个连续随机过程x, 如果t→μt∶=μ(x(t)):→Pr(C(,X))是几乎自守的, 则称x为依分布几乎自守的, 其中μ(x(t))∶=P∘[x(t)]-1为P下分布的.

则称x(t)是依分布几乎自守的.

2 主要结果

考虑奇异随机微分方程

Adx(t)+Bx(t)dt=f(t)dt+g(t)dW(t),t∈

(1)

依分布的几乎自守解, 其中：A:D(A)⊂H→H,B:D(B)⊂H→H是闭的线性算子, 且D(B)⊆D(A);f:→L2(Ω,H ),g:→L(U,H )为几乎自守随机过程;W(t)是U-值布朗运动.B(H )表示所有有界线性算子H的集合,D(S),ρ(S),N(S)和R(S)分别表示线性算子S的定义域、豫解式、值域和像集, 且R(λ,S)∶=(λI-S)-1, 其中:λ∈ρ(S);I: H→H为H的单位算子. 假设f,g为几乎自守的随机过程, 且线性算子B有一个有界逆. 因为B有连续逆, 且D(B)⊂D(A), 定义T=AB-1: H→H为连续线性算子, 则R(λ,T)=(λI-T)-1:ρ(T)→B(H ). 利用文献[8-9], 令Bx=y,x∈D(B)⊂D(A), 则方程(1)可化为

Tdy(t)+y(t)dt=f(t)dt+g(t)dW(t),t∈.

(2)

且H =R(T)⊕N(T)=X1+X2. 显然, 由R(λ,T)定义知,T为限制在X1=R(T)上的有界逆算子, 则T可写为

其中M为限制在X1上的有界线性算子.T也可视为X1上的C0半群. 利用T的对角块形式及f,g两个随机过程分别在X1和X2上的投影分解:

方程(2)可分解为

M-1dy1(t)+y1(t)dt=f1dt+g1(t)dW(t),y2(t)=f2(t)+g2(t).

(3)

则y=(y1,y2)有如下形式:

(4)

其中t,τ∈且t≥τ. 则式(3),(4)可等价地写成如下等式:

(5)

其中t,τ∈且t≥τ.