p3q3阶群的完全分类

陈松良, 黎先华

(1. 贵州师范学院 数学与计算机科学学院, 贵阳 550018; 2. 苏州大学 数学科学学院, 江苏 苏州 215006)

对给定阶数的有限群或对具有某种性质的有限群进行同构分类, 是有限群的研究热点之一. 文献[1]通过分析无三次因子阶群的结构特点, 给出了在同构意义上构造这类群的一种算法; 文献[2]对无四次因子阶群的结构信息给出了若干描述和刻画; 文献[3]讨论了无四次因子阶群的2-弧传递表示. 设p,q是不同的素数, 文献[4]确定了所有p3q阶群的构造； 文献[5]确定了所有p3q2阶群的构造. 设p是奇素数, 文献[6]确定了23p3阶群的构造(p≠3,7). 设p,q是不同的奇素数且p>q, 对于p3q3阶群G的同构分类, 除当Sylowq-子群是指数为q2的非交换q-群时G的同构分类尚未完成外, 其余情形的p3q3阶群的完全分类均已得到[7-14]. 本文考虑p3q3阶群的完全分类, 主要结果如下.

定理1设p,q为奇素数, 且p>q,G是p3q3阶群. 如果G的Sylowq-子群是指数为q2的非交换q-群, 则有:

1) 如果(q,(p3-1)(p+1))=1, 则G恰有5种不同构的类型;

2) 如果(q,p+1)=q(此时必有(q,p3-1)=1), 则G恰有(q+3)种不同构的类型;

4) 如果(q,p-1)=q, 则：

① 当q=3时,G有83种不同构的类型；

(i)P1=〈a〉, |a|=p3;

(ii)P2=〈a〉×〈b〉, |a|=p2, |b|=p;

(iii)P3=〈a〉×〈b〉×〈c〉, |a|=|b|=|c|=p;

引理1G的Sylowp-子群必是G的正规子群.

证明： 易见Q中恰有(q2-q)q个阶为q2的元和(q2-1)个阶为q的元, 又每个q2阶循环子群中恰有(q-1)个阶为q的元, 从而Q的自同构群Aut(Q)的阶是

(q2-q)q((q2-1)-(q-1))=q3(q-1)2.

如果G的Sylowq-子群Q是正规子群, 则G的Sylowp-子群P在Q上的作用是平凡的, 从而P◁G. 如果Q不正规, 则当1q, 因此PcharPOq(G), 于是P◁G. 如果Oq(G)=1, 则因为G是可解群, 所以Op(G)>1. 此时若P不正规, 则G/Op(G)的Sylowp-子群是不正规的. 由Sylow定理可知,G/Op(G)的Sylowp-子群的个数为q3个, 从而P/Op(G)是自正规的交换p-群, 再由Burnside定理知,G/Op(G)的Sylowq-子群QOp(G)/Op(G)是正规的. 又QOp(G)/Op(G)≅Q, 而p不整除Aut(Q)的阶, 所以P/Op(G)平凡作用在Q上, 表明P/Op(G)◁G/Op(G), 从而P◁G, 矛盾. 证毕.

引理2设G是p3q3阶群, 其Sylowq-子群为指数是q2的非交换群Q, 而Sylowp-子群是循环群P1. 设σ是模p3的一个原根, 若(q,p-1)=q, 则令r=σp2(p-1)/q, 从而有:

1) 当(q,p-1)=1时,G恰有1种不同构的类型G=P1×Q；

2) 当(q,p-1)=q时,G有(q+1)种不同构的类型, 即除了构造G=P1×Q外, 还有下列形如

(1)

的1种构造及形如

(2)

的(q-1)种构造.

证明： 由文献[7]中的引理4即得.

引理3设G是p3q3阶群, 其Sylowq-子群为指数是q2的非交换群Q, 而Sylowp-子群是交换群P2. 设σ是模p2与模p的一个公共原根, 若(q,p-1)=q, 则令

s=σp(p-1)/q,t=σ(p-1)/q,

从而有:

1) 当(q,p-1)=1时,G恰有1种不同构的类型P2×Q；

2) 当(q,p-1)=q时,G有(2q2+q)种不同构的类型, 其中除了构造P2×Q外, 还有如下构造：

其中形如式(4),(6)的构造各1种, 形如式(3),(5),(7),(8),(10)的构造各(q-1)种, 形如式(9),(11)的构造各(q-1)2种.

证明： 因为G的Sylowp-子群是正规子群, 此时不难证明G是超可解的, 而且可设〈a〉与〈b〉都是Q-不变的. 因为Aut(〈a〉)与Aut(〈b〉)分别是p(p-1),(p-1)阶循环群.

1) 当(q,p-1)=1时,G必有构造P2×Q.

2) 当(q,p-1)=q时,G除构造P2×Q外还有其他构造. 而由于

Q/CQ(a)Aut(〈a〉),Q/CQ(b)Aut(〈b〉),

所以CQ(a)与CQ(b)或为Q或为Q的q2阶正规子群. 又易见Q的q2阶正规子群中有一个初等交换群〈xq,y〉与q个循环群〈xyk〉, 0≤k≤q-1, 所以有:

① 当CQ(a)=Q而CQ(b)≠Q时, 如果CQ(b)是q2阶循环子群, 则不妨设CQ(b)=〈x〉, 于是ax=ay=a,bx=b, 且可设by=bti(0

② 当CQ(b)=Q而CQ(a)≠Q时, 如果CQ(a)是q2阶循环子群, 则不妨设CQ(a)=〈x〉, 于是ax=a,bx=by=b, 且可设ay=asi(0

③ 当CQ(a)与CQ(b)都不是Q且CQ(a)≠CQ(b)时, 由于Q中只有一个q2阶初等交换子群〈xq,y〉, 但有q个不同的q2阶循环子群〈xyk〉(k=0,1,…,q-1), 所以如果CQ(a)=〈xq,y〉而CQ(b)=〈xyk〉, 则必有ay=a且可设ax=as,by=bti(0

所以当把xyk换回为x时可得G的(q-1)种形如式(7)的构造. 如果CQ(a)=〈xyk〉而CQ(b)=〈xq,y〉, 则必有by=b且可设bx=bt,ay=asi(0

④ 当CQ(a)=CQ(b)≠Q,CQ(a)=CQ(b)=〈xq,y〉时, 有ay=a,by=b, 且可设ax=as(否则, 只要用x的适当方幂代替x即可),bx=bti, 其中0

引理4设G是p3q3阶群, 其Sylowp-子群为p3阶初等交换群P3, 而Sylowq-子群为指数是q2的非交换群Q. 令σ是模p的一个原根, 若(q,p-1)=q, 则令t=σ(p-1)/q, 从而有：

1) 当(q,(p3-1)(p+1))=1时,G只有1种不同构的类型, 即P3×Q;

2) 当(q,p-1)=q时, 有:

① 如果q=3, 则G有39种不同构的类型；

证明: 参见文献[8]中定理1.

引理5设G是p3q3阶群, 其Sylowp-子群为指数是p2的非交换群P4, 而Sylowq-子群为指数是q2的非交换群Q. 令σ是模p2与模p的一个公共原根, 若q|(p-1), 则令s=σp(p-1)/q,t=σ(p-1)/q, 从而有：

1) 当(p-1,q)=1时,G仅有构造G≅P4×Q；

2) 当(p-1,q)=q时,G有(q+1)种互不同构的构造, 除P4×Q外, 还有形如

(12)

的1种构造及形如

(13)

的(q-1)种构造.

证明： 由引理1知G的Sylowp-子群是正规的, 且G是超可解群, 并可设〈a〉和〈b〉都是Q-不变的. 当(q,p-1)=1时, 必有G≅P4×Q. 当(q,p-1)=q时,G除构造P4×Q外, 还有其他构造. 令H=〈b〉Q, 显然H/CH(a)同构于Aut(〈a〉)的一个子群, 于是H/CH(a)是循环群. 又b∉CH(a), 所以如果CQ(a)=〈xq,y〉, 则可设ax=as(否则, 只要用x的适当方幂代替x即可), 从而必有bx=b, 其中s=σp(p-1)/q, 而σ是模p2与p的一个公共原根. 注意到ay=a, 所以将y作用在[a,b]=ap的两边后得[a,bti]=ap, 于是pti≡p(modp2), 从而必有ti≡1(modp), 由此得i≡0(modq), 故by=b. 因此G有形如式(12)的构造. 如果CQ(a)=〈x〉, 类似上述分析, 可得G的形如式(13)的构造.

如果CQ(a)=Q, 则将x,y依次作用在[a,b]=ap的两边后, 必有CQ(b)=Q, 从而得G≅P4×Q. 证毕.

引理6设G是p3q3阶群, 其Sylowp-子群为指数是p的非交换群P5=〈a,b,c〉, 而Sylowq-子群为指数是q2的非交换群Q. 令σ是模p的一个原根, 若q|(p-1), 则令t=σ(p-1)/q, 从而有:

1) 当(p2-1,q)=1时,G只有1种构造, 即P5×Q;

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

证明： 由引理1知G的Sylowp-子群是正规的. 因为

Φ(P5)=Z(P5)=〈c〉,

综合引理2～引理6的结果, 可知定理1成立. 由定理1及文献[7-14]的结果, 可知p3q3阶群的完全分类得以完成.